ASYMPTOTIQUES CALCULS
Article modifié le
Développements asymptotiques
Dans ce chapitre, on supposera choisie une échelle de comparaison E (au voisinage d'un point a ou au voisinage de l'infini).
Partie principale
L' idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante c ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :
Développements asymptotiques au sens de Poincaré
Si f a une partie principale c1g1 par rapport à une échelle E, on peut chercher à préciser un peu plus le comportement de f en étudiant la différence f − c1g1 ; si cette fonction a une partie principale c2g2, on a alors :
De manière générale, on appelle développement asymptotique (au sens de Henri Poincaré) d'ordre k d'une fonction f par rapport à une échelle de comparaison E une somme finie (nécessairement déterminée de manière unique si elle existe) :
L'exemple le plus simple de cette situation est la théorie classique des développements limités au voisinage d'un point a : ce n'est autre que la recherche du développement asymptotique d'une fonction par rapport à l'échelle (3). Le résultat classique le plus important est ici la formule de Taylor, qui affirme que toute fonction k fois continûment dérivable au voisinage de a admet le développement limité d'ordre k :
Les résultats précédents permettent déjà d'étudier un grand nombre de formes indéterminées.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Développements asymptotiques
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
NUMÉRIQUE ANALYSE
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 6 381 mots
On suppose que a(n) − a admet un développement asymptotique de la forme :
-
STIRLING JAMES (1692-1770)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 364 mots
Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de...
Voir aussi
- BESSEL FONCTIONS DE
- PUISSANCE FONCTION
- SÉRIES ENTIÈRES
- EULER CONSTANTE D'
- CAUCHY THÉORÈME DE
- TAYLOR FORMULE DE
- EULER-MACLAURIN FORMULE D'
- ÉQUIVALENTES FONCTIONS
- DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE
- BERNOULLI NOMBRES DE
- LANDAU NOTATIONS DE
- HARDY NOTATIONS DE
- BERNOULLI POLYNÔMES DE
- COL MÉTHODE DU
- COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS
- HYPERGÉOMÉTRIQUE ÉQUATION
- HYPERGÉOMÉTRIQUE SÉRIE
- LOGARITHME INTÉGRAL
- LAPLACE MÉTHODE DE
- DÉVELOPPEMENT LIMITÉ
- PHASE STATIONNAIRE MÉTHODE DE LA
- PARTIE PRINCIPALE
- ERREUR FONCTION D'
- REPRÉSENTATION INTÉGRALE
- INTÉGRATION PAR PARTIES
