ASYMPTOTIQUES CALCULS

Partie principale

L' idée la plus simple pour étudier le comportement d'une fonction donnée f (au voisinage de a ou de l'infini) est de chercher si, à une constante près, elle est équivalente à une fonction de l'échelle E choisie. S'il existe une telle fonction g de E et une constante c ≠ 0 telles que f ∼ cg, c et g sont déterminées de manière unique et on dit que cg est la partie principale de f (par rapport à l'échelle E) ; remarquons que cela équivaut à dire que :

ou encore que f (x)/g(x) tend vers une limite finie c ≠ 0. Dans le cas où l'échelle choisie est (2) ou (3), on retrouve la notion usuelle de partie principale ; ainsi, 1/sinx a pour partie principale 1/x pour x → 0, e^x − e^a a pour partie principale e^a(x − a) pour x → a,a pour partie principale 2x pour x → ∞. Remarquons que la partie principale n'existe pas nécessairement ; en effet, toutes les fonctions d'une échelle logarithmico-exponentielle sont positives pour x assez grand et par suite une fonction « oscillante » (comme x sinx, qui s'annule dans tout voisinage de l'infini) n'est comparable à aucune fonction de ce type, pour x → ∞. Il se peut aussi que l'échelle choisie ne soit pas assez « riche » et que f  croisse plus vite ou moins vite que toute fonction de l'échelle, ou encore tombe dans un « trou » de l'échelle : ainsi la fonction x ln x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle (2), car elle croît plus vite que x et moins vite que x².

Développements asymptotiques au sens de Poincaré

Si f  a une partie principale c₁g₁ par rapport à une échelle E, on peut chercher à préciser un peu plus le comportement de f  en étudiant la différence f − c₁g₁ ; si cette fonction a une partie principale c₂g₂, on a alors :

De manière générale, on appelle développement asymptotique (au sens de Henri Poincaré) d'ordre k d'une fonction f par rapport à une échelle de comparaison E une somme finie (nécessairement déterminée de manière unique si elle existe) :

telle que la différence f − g soit négligeable devant g_k (cf. chap. 1) ; ainsi :les g_i formant une suite « décroissante » de fonctions de E, en ce sens que, pour chaque i, la fonction g_i + 1 est négligeable devant g_i.

L'exemple le plus simple de cette situation est la théorie classique des développements limités au voisinage d'un point a : ce n'est autre que la recherche du développement asymptotique d'une fonction par rapport à l'échelle (3). Le résultat classique le plus important est ici la formule de Taylor, qui affirme que toute fonction k fois continûment dérivable au voisinage de a admet le développement limité d'ordre k :

On obtient ainsi, pour les fonctions usuelles de l'analyse, des développements limités d'ordre arbitrairement grand ; par exemple, au voisinage de 0 :

Les résultats précédents permettent déjà d'étudier un grand nombre de formes indéterminées.