ASYMPTOTIQUES CALCULS

Cas des intégrales

Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes des intégrales convergentes :

ou d'évaluer des intégrales divergentes :

Cette étude s'effectue en deux étapes. On se ramène au cas où f appartient à une échelle classique de comparaison, grâce au théorème d'intégration des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Les énoncés sont analogues pour les relations f = o (g)  et f = O (g). En revanche, on ne peut pas toujours dériver les relations de comparaison ; par exemple :

mais :n'est pas équivalent à 1.

Pour f appartenant à une échelle classique, si on ne dispose pas d'une primitive explicite, on effectue des intégrations par parties successives. Par exemple, le comportement asymptotique du logarithme intégral :

étudié par Euler et Gauss, est donné par :

De même, la fonction d'erreur, introduite par Gauss en calcul des probabilités,

tend vers 1 si x → + ∞ et son développement asymptotique se déduit de la relation :

Il est important de ne pas confondre les développements asymptotiques avec les séries ; dans de nombreux cas, on n'est capable de déterminer explicitement qu'un petit nombre de termes et d'obtenir cependant ainsi de très précieux renseignements sur les fonctions considérées. De toute façon, un développement asymptotique est essentiellement une somme finie et, même si on peut obtenir un nombre arbitrairement grand de termes, cela n'entraîne nullement que la série correspondante converge, comme le montre l'exemple suivant, étudié par Laplace. Considérons la fonction :

(à une constante près, c'est la fonction « exponentielle-intégrale ») ; par intégration successive par parties, on obtient facilement, pour tout k,on constate facilement que, pour tout t, la série de terme général (k − 1) !/t^k est divergente.

Dans l'exemple du logarithme intégral li (x) donné ci-dessus, on remarquera même que tous les termes du développement tendent vers + ∞ avec x !

À travers les exemples précédents, on voit que le rôle de l'intégration par parties est de transformer l'intégrale à étudier en une intégrale négligeable devant la précédente. On peut expliquer le schéma de calcul de la manière suivante. Soit l'intégrale :

où f varie lentement devant g (par exemple f (t) = 1/t, ou f (t) = ln t, et g (t) = e^t, g(t) = exp (− t²), ou g (t) = e^it). En première approximation, on assimile f à une constante, ce qui conduit à l'estimation :où :La non-constance de f  se traduit par l'apparition d'un terme correctif portant sur la dérivée de f, ce qui constitue la formule d'intégration par parties :La faible variation de f  se traduit par le fait que l'intégrale du second membre est négligeable devant l'intégrale initiale. Dans les applications, on rencontre très souvent le cas de l'amortissement constant g (t) = e^-kt ou de la phase tournante uniforme g (t) = e^iωt. Ce double aspect amortissement et phase tournante se retrouve dans la méthode de Laplace et dans la méthode de la phase stationnaire (cf. chap. 5).