ASYMPTOTIQUES CALCULS

Généralités

Le cas du développement asymptotique des sommes partielles des séries est analogue à celui des intégrales. Il s'agit d'étudier le comportement asymptotique des restes de séries convergentes :

et des sommes partielles de séries divergentes :

Ici encore, on se ramène au cas où f appartient à une échelle classique, grâce au théorème de sommation des relations de comparaison :

Théorème. Si f et g sont positives et équivalentes au voisinage de + ∞, alors :

– dans le cas convergent :

– dans le cas divergent :

Enfin, lorsque f  appartient à une échelle classique, on compare les sommes précédentes à des intégrales. Cette comparaison est facile lorsque f  varie « lentement » ; plus précisément, on a :

Théorème de Hardy. Soit f  une fonction à valeurs complexes de classe C¹, pour x ≥ 0, telle que sa dérivée f ′ soit intégrable au voisinage de + ∞. Alors, la suite :

est convergente.

Par exemple, la suite :

admet une limite, traditionnellement notée γ et appelée constante d'Euler. Ce nombre est de nature encore très mystérieuse et on ne sait même pas s'il est rationnel ou irrationnel. Une valeur approchée à 20 décimales est :

Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

Si l'on désire un développement asymptotique à une précision plus grande, on fait appel à une technique beaucoup plus élaborée, la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin. On suppose ici que f  est suffisamment dérivable et que, pour tout entier k, la dérivée k-ième f ^(k) est négligeable devant f ^(k-1).

On se propose d'évaluer des sommes du type :

par comparaison avec l'intégrale :Plus précisément écrivons :on se ramène d'abord à l'intervalle [0, 1] pour chacune des intégrales de la somme de droite par les changements de variable u + n − 1 = t. On a, pour chacune de ces intégrales :après intégration par parties, en prenant une primitive P₁ du polynôme constant P₀ = 1. De même, en prenant une primitive P₂ de P₁, on a, par intégration par parties : 

On poursuit ce processus jusqu'au rang r, c'est-à-dire jusqu'à un reste portant sur f ^(r+1), et on choisit les primitives successives P_k de P₀= 1 de telle sorte que les termes tout intégrés disparaissent deux à deux dans la sommation lorsque n varie de p + 1 à q. Il suffit pour cela d'imposer au polynôme P_k de vérifier les relations : P′_k = P_k-1 pour k ≥ 1 et P_k (1) = P_k (0) pour k ≥ 2, ou, ce qui revient au même, pour tout k ≥ 1,

On démontre qu'il existe une suite (P_k) et une seule satisfaisant à ces conditions. Plus précisément, pour tout entier naturel k,

où B_k est le k-ième polynôme de Bernoulli, considéré par J. Bernoulli comme solution de l'équation aux différences : P(x + 1) − P(x) = kx^k-1. Ces polynômes peuvent être introduits par la série génératrice formelle :

En fait, dans ce qui précède, seuls interviennent les nombres de Bernoulli β_k = B_k(0).

Pour expliciter les calculs précédents, il convient de distinguer deux cas, suivant que :

f  est intégrable au voisinage de + ∞ ; il s'agit alors d'évaluer le reste :

f  n'est pas intégrable ; il s'agit alors d'évaluer la somme partielle :

Ces deux cas sont explicités dans l'article sur l'histoire du calcul numérique déjà cité, avec des exemples classiques, comme la formule de Stirling et des applications à la fonction gamma.

Il convient de noter que la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin est de type asymptotique, c'est-à-dire que les restes ne tendent pas nécessairement vers 0. Mais, lorsque ce reste tend vers 0, la formule sommatoire fournit des développements en série. Ainsi, appliquant cette formule à la fonction t ↦ e^zt, on montre que, pour |z | < 2π,

On en déduit les développements[...]