Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

ASYMPTOTIQUES CALCULS

Article modifié le

Cas des solutions d'équations le champ réel et le champ complexe.

Systèmes dans le champ réel

Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :

où A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ Cn, l'unique solution du problème de Cauchy x(0) = a est donnée par :
Lorsque A est diagonalisable, de valeurs propres λ1 ...., λr, le comportement asymptotique de x(t) est gouverné par la valeur propre de plus grande partie réelle. En particulier, les solutions tendent vers 0 à l'infini si et seulement si, pour tout j, on a Re λj ≤ 0. Lorsque A n'est pas diagonalisable et que λj est d'indice nj, il existe des solutions se comportant comme tk ejt, où 0 ≤ k ≤ nj − 1. Les solutions tendent encore vers 0 à l'infini si et seulement si Re λj < 0.

Examinons maintenant l'effet d'une perturbation t ↦ R (t) de A sur le comportement asymptotique d'une solution du système linéaire (1). On peut conjecturer que, si la perturbation est assez petite à l'infini, ce comportement n'est pas notablement modifié. Plus précisément, supposons A diagonalisable et soit λ une valeur propre de A. Si l'intégrale :

est convergente, alors, pour tout vecteur propre b de A associé à la valeur propre λ, il existe une solution x et une seule de l'équation perturbée :
telle que x(t) ∼ eλt au voisinage de + ∞.

Par exemple, soit l' équation de Bessel réduite :

qui équivaut au système linéaire :
ici :

Les fonctions t ↦ eit, et t ↦ e-it constituent une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation non perturbée u″ + u = 0. D'après le résultat précédent, il existe donc un couple (u1, u2) de solutions et un seul de l'équation perturbée tel que :

cette méthode donne donc le comportement asymptotique des fonctions de Bessel.

Si, maintenant, A n'est pas diagonalisable, il convient d'imposer à R des conditions plus strictes. Lorsque λj est d'indice nj , on suppose que :

ce qui entraîne l'existence d'une solution x telle que :

Pour le comportement asymptotique des systèmes linéaires à cœfficients périodiques (par exemple, le théorème de l'équation séculaire des planètes), on se reportera à l'article équations différentielles, La théorie de Floquet.

Le champ complexe

Pour obtenir des développements asymptotiques des solutions d'un système différentiel dans le champ complexe, l'idée principale consiste à obtenir des représentations intégrales des solutions. On utilise ensuite des développements tayloriens ou on applique à ces intégrales les méthodes esquissées au chapitre 5.

Considérons, par exemple, une équation différentielle linéaire d'ordre n :

où a0, a1 ..., an sont des polynômes.

Pour obtenir des représentations intégrales des solutions, les méthodes sont très variées. Citons, par exemple, la méthode de Laplace, qui s'applique lorsque les polynômes aj sont de degré ≤ 1 : on cherche les solutions sous la forme :

où L est un contour du plan complexe convenablement choisi. Ainsi, dans le cas de l'équation différentielle :
on trouve v(z) = exp(− ζ3/3) et :
où L est le contour décrit dans l'intégrale d'Airy (cf. La méthode du col, in chap. 5). Le comportement asymptotique de la solution s'en déduit.

On utilise aussi la méthode d'Euler, où :

pour un choix convenable de α et L. Une variante est la méthode de Mellin, où :

Nous nous bornerons à deux exemples significatifs, importants pour les applications.

L'équation hypergéométrique

Considérons l'équation de Riemann, admettant trois points singuliers deux[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Média

Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France

Développements asymptotiques

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • NUMÉRIQUE ANALYSE

    • Écrit par et
    • 6 381 mots
    On suppose que a(n) − a admet un développement asymptotique de la forme :
    on notera que le cas où rn admet un développement asymptotique de la forme :
    se ramène au précédent en introduisant la suite (a′(n)) de terme général a′(n) = a(2n).

  • STIRLING JAMES (1692-1770)

    • Écrit par
    • 364 mots

    Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de...

Voir aussi

Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter