CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Saxe, Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles.

Né à Saint-Pétersbourg (Russie) d'un père danois et d'une mère autrichienne, Cantor réside avec sa famille en Allemagne à partir de 1856. Étudiant en mathématiques à l'École polytechnique fédérale de Zurich (Suisse) puis à l'université de Berlin, il y soutient sa thèse de doctorat en 1867 dans le domaine de la théorie des nombres. À partir de 1870, il enseigne à l'université de Halle et y est nommé professeur deux ans plus tard. Il y fera toute sa carrière.

Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor se consacre à l'étude des séries trigonométriques et aux nombres irrationnels. Dans le court article de 1874, titré « Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels », il considère l'ensemble des nombres réels algébriques, c'est-à-dire les solutions réelles des équations de degré n à coefficients entiers. Il affirme d'abord que des arguments élémentaires suffisent à démontrer qu'il existe une infinité de tels nombres dont la différence avec n'importe quel nombre réel est moindre qu'une quantité donnée, si petite soit-elle. Il démontre ensuite explicitement comment on peut ranger tous les nombres algébriques et étiqueter chacun d'eux par un nombre entier, c'est-à-dire, en termes modernes, comment l'ensemble des nombres algébriques peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers. Considérant ensuite une suite ordonnée extraite de l'ensemble des nombres réels, Cantor démontre que, dans chaque intervalle de nombres réels, on peut trouver un nombre qui ne se trouve pas dans la suite, et qu'il existe donc une infinité de nombres réels n'appartenant pas à la suite. Cela prouve le résultat proposé en 1851 par le mathématicien français Joseph Liouville (1809-1882) selon lequel presque tous les nombres sont transcendants (c'est-à-dire non algébriques).

L'article de 1874 sera suivi d'une série de six publications dans lesquelles Cantor développe sa théorie des ensembles. Les réserves des mathématiciens sont nombreuses – Leopold Kronecker (1823-1891), mathématicien et logicien, exprime publiquement son désaccord scientifique, poussant la critique jusqu'à reprocher à Cantor un manque de rigueur et à le traiter de charlatan et de renégat corrompant la jeunesse. En 1883, Cantor répond aux critiques dans ses Fondements d'unethéorie générale des agrégats. Il introduit alors, pour distinguer les différents infinis, la notion de nombres « transfinis » (maintenant appelés ordinaux) pour lesquels il définit des règles de calcul lui permettant d'obtenir quelques résultats remarquables.

Les idées de Cantor seront l'objet de vives controverses pendant plusieurs décennies : comme Kronecker, Henri Poincaré (1854-1912) rejettera les découvertes de Cantor, alors que David Hilbert (1862-1943) les défendra avec flamme en affirmant que « personne ne nous expulsera du paradis créé par Cantor ». Le débat s'étendra bien au-delà de la communauté des mathématiciens, montrant combien la notion d'infini se prête à une discussion métaphysique. Alors que certains théologiens voient dans son attitude une contradiction à l'unicité de l'infini divin, Cantor, luthérien convaincu, pense que sa théorie lui a été inspirée par Dieu... Cinquante ans plus tard, Ludwig Wittgenstein opposera encore des objections philosophiques à la théorie des ensembles et à ses « idiomes pernicieux ».

La théorie de Cantor est aujourd’hui appelée « théorie naïve des ensembles » pour la distinguer de la[...]