CHAOS, physique

Attracteurs étranges

Le chaos déterministe se rencontre aussi bien dans les systèmes hamiltoniens ou non dissipatifs (sans dissipation d'énergie vers l'extérieur) et dans les systèmes dissipatifs. Mais, dans ces derniers, la notion de chaos est intimement liée à celle d'attracteurs étranges.

En effet, la dynamique de tout système dissipatif non chaotique est telle que, à partir d'un ensemble de conditions initiales, elle converge vers un comportement unique d'équilibre, indépendant de ces conditions ; cet état pourra être stationnaire dans le cas d'un pendule amorti, périodique pour un pendule entretenu, etc. La représentation de ces états dans l'espace des phases – point fixe, cycle limite, etc. – est un attracteur vers lequel convergent toutes les trajectoires situées dans le bassin d'attraction correspondant, de même que tous les ruissellements d'une même vallée aboutissent dans la rivière qui coule dans le fond.

Cette propriété de convergence, d'attraction vers la trajectoire d'équilibre est toujours présente quand le système devient chaotique, mais s'y rajoutent les effets dus à la S.C.I. Lorsque la trajectoire se construit au cours du temps dans l'espace des phases, il y a contraction suivant certaines directions et divergence suivant d'autres. Cette dernière se manifeste par des étirements, suivis de nécessaires repliements liés au fait que l'extension de l'attracteur est limitée par les valeurs extrémales prises dans le temps par les variables physiques. Résultat d'une multitude d'étirements et de repliements, l'attracteur chaotique est donc, en quelque sorte, fabriqué de la même manière que celle qu'utilise le boulanger pour faire sa pâte : il en résulte une structure feuilletée tout à fait caractéristique. Remarquons qu'entre les feuillets de l'attracteur chaotique il y a du vide que la trajectoire ne remplit jamais ; bien qu'évoluant dans un espace à trois dimensions (dans le cas le plus simple) mais sans être confinée à une surface, la trajectoire ne remplit pas l'espace de façon dense. La dimension de l'attracteur, supérieure à 2, est donc inférieure à 3, de même que celle d'un arbre, objet pourtant non bidimensionnel, mais ne remplissant pas l'espace de façon dense. L'attracteur chaotique, de dimensionnalité non entière, est donc un « fractal ». Cet aspect est confirmé par le fait qu'on peut trouver des feuillets imbriqués à toutes les échelles d'observation, autre caractéristique curieuse des « fractals ». Ces propriétés topologiques ont fait nommer les attracteurs chaotiques « attracteurs étranges ».

La présence de l'un de ces derniers dans l'espace des phases est une signature de chaos déterministe dissipatif. Aussi sa mise en évidence, à partir de signaux expérimentaux, est-elle cruciale. En effet, le nombre de degrés de liberté effectifs d'un système expérimental n'est généralement pas connu, et, dans ce cas, seule la démonstration de la présence des propriétés spécifiques du chaos déterministe sera valable, c'est-à-dire la démonstration de la présence ou non d'un attracteur étrange de faible dimensionnalité dans l'espace des phases.

La manière la plus simple consiste à tracer l'attracteur lui-même à partir des variables du système. En fait, cette méthode se limite aux espaces des phases de faible dimensionnalité (trois ou quatre au maximum) ; dans ce cas, et pour mieux cerner la topologie de l'attracteur, il est d'usage d'en faire une coupe par un plan (section de Poincaré, ). Cette démarche s'est révélée très fructueuse pour étudier la dynamique près du seuil d'apparition du chaos, en particulier pour suivre la déstabilisation des régimes périodiques l'ayant précédé. Mais, d'une part, cette manière de procéder n'amène pas[...]