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HERMITE CHARLES (1822-1901)

La théorie arithmétique des formes quadratiques

Hermite commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque n de variables (« formes définies positives » dans la terminologie classique) l'idée de « réduction » que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu'une telle forme, de discriminant D, prend, pour au moins un système de valeurs entières (non toutes nulles) des variables, une valeur au plus égale à :

où ρn est une constante ne dépendant que de n, et pour laquelle Hermite obtient la majoration :
améliorée plus tard par H. Minkowski. Cela lui permet déjà, pour des formes quadratiques positives à coefficients entiers, de montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de formes équivalentes de discriminant donné (deux formes étant équivalentes si elles se déduisent l'une de l'autre par une transformation linéaire inversible à coefficients entiers). Mais la grande originalité d'Hermite est d'avoir utilisé sa majoration (*) (et la majoration analogue pour ce qu'on appelle maintenant les « formes hermitiennes » positives non dégénérées, qu'il introduisit le premier dans la science) pour obtenir toute une série de résultats arithmétiques nouveaux. Par exemple, en associant à un nombre réel quelconque A la forme quadratique positive :
où Δ est un nombre positif quelconque, l'application de (*) donne le résultat qu'il existe toujours deux entiers m, n pour lesquels :
résultat plus précis que celui qu'on déduit de la théorie des fractions continuées. La même méthode s'applique à l'approximation simultanée de n nombres réels A1, ..., An par des nombres rationnels en considérant la forme quadratique à n + 1 variables :

La théorie des formes quadratiques non dégénérées de signe variable (« formes indéfinies » de la terminologie classique) est ramenée par Hermite à celle des formes positives : il associe à une forme quadratique quelconque F(x1, ..., xn) ses « majorantes d'Hermite », c'est-à-dire les formes quadratiques positives G (x1, ..., xn) telles que :

pour tout point (x1, ..., xn), et qui sont minimales parmi celles qui possèdent cette propriété. De la « réduction » de ces formes majorantes, il déduit une théorie de la « réduction » des formes quadratiques non dégénérées quelconques ; il montre par exemple que le groupe des transformations linéaires inversibles à coefficients entiers qui laisse invariante une telle forme admet un système générateur fini (le groupe lui-même étant infini en général, difficulté qui avait arrêté les prédécesseurs d'Hermite) ; et, pour les formes à coefficients entiers de discriminant donné, il prouve qu'elles se répartissent encore en un nombre fini de classes de formes équivalentes.

Une application encore plus remarquable de la majoration (*) (ou plutôt de son analogue pour les formes hermitiennes) conduit Hermite à l'un de ses plus beaux théorèmes : Il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres algébriques de discriminant donné. Son idée consiste à partir d'une « forme norme » :

à n variables xi, où les aj (1 ≤ j ≤ n) sont les conjugués d'un nombre algébrique de degré n, tel que le carré du déterminant des nn formes xajk-1 est le discriminant Δ k − 1de ce nombre algébrique. Hermite considère alors la forme hermitienne positive non dégénérée :
dont le déterminant est Δ, et lui applique sa méthode de réduction, qui conduit au résultat.

Dans un autre ordre d'idées, un emploi habile de la loi d'inertie des formes hermitiennes amène Hermite à une très ingénieuse méthode qui permet, en associant à un polynôme de degré n une forme hermitienne à n variables, de[...]

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