Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

HERMITE CHARLES (1822-1901)

Article modifié le

La théorie arithmétique des formes quadratiques

Hermite commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque n de variables (« formes définies positives » dans la terminologie classique) l'idée de « réduction » que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu'une telle forme, de discriminant D, prend, pour au moins un système de valeurs entières (non toutes nulles) des variables, une valeur au plus égale à :

où ρn est une constante ne dépendant que de n, et pour laquelle Hermite obtient la majoration :
améliorée plus tard par H. Minkowski. Cela lui permet déjà, pour des formes quadratiques positives à coefficients entiers, de montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de formes équivalentes de discriminant donné (deux formes étant équivalentes si elles se déduisent l'une de l'autre par une transformation linéaire inversible à coefficients entiers). Mais la grande originalité d'Hermite est d'avoir utilisé sa majoration (*) (et la majoration analogue pour ce qu'on appelle maintenant les « formes hermitiennes » positives non dégénérées, qu'il introduisit le premier dans la science) pour obtenir toute une série de résultats arithmétiques nouveaux. Par exemple, en associant à un nombre réel quelconque A la forme quadratique positive :
où Δ est un nombre positif quelconque, l'application de (*) donne le résultat qu'il existe toujours deux entiers m, n pour lesquels :
résultat plus précis que celui qu'on déduit de la théorie des fractions continuées. La même méthode s'applique à l'approximation simultanée de n nombres réels A1, ..., An par des nombres rationnels en considérant la forme quadratique à n + 1 variables :

La théorie des formes quadratiques non dégénérées de signe variable (« formes indéfinies » de la terminologie classique) est ramenée par Hermite à celle des formes positives : il associe à une forme quadratique quelconque F(x1, ..., xn) ses « majorantes d'Hermite », c'est-à-dire les formes quadratiques positives G (x1, ..., xn) telles que :

pour tout point (x1, ..., xn), et qui sont minimales parmi celles qui possèdent cette propriété. De la « réduction » de ces formes majorantes, il déduit une théorie de la « réduction » des formes quadratiques non dégénérées quelconques ; il montre par exemple que le groupe des transformations linéaires inversibles à coefficients entiers qui laisse invariante une telle forme admet un système générateur fini (le groupe lui-même étant infini en général, difficulté qui avait arrêté les prédécesseurs d'Hermite) ; et, pour les formes à coefficients entiers de discriminant donné, il prouve qu'elles se répartissent encore en un nombre fini de classes de formes équivalentes.

Une application encore plus remarquable de la majoration (*) (ou plutôt de son analogue pour les formes hermitiennes) conduit Hermite à l'un de ses plus beaux théorèmes : Il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres algébriques de discriminant donné. Son idée consiste à partir d'une « forme norme » :

à n variables xi, où les aj (1 ≤ j ≤ n) sont les conjugués d'un nombre algébrique de degré n, tel que le carré du déterminant des nn formes xajk-1 est le discriminant Δ k − 1de ce nombre algébrique. Hermite considère alors la forme hermitienne positive non dégénérée :
dont le déterminant est Δ, et lui applique sa méthode de réduction, qui conduit au résultat.

Dans un autre ordre d'idées, un emploi habile de la loi d'inertie des formes hermitiennes amène Hermite à une très ingénieuse méthode qui permet, en associant à un polynôme de degré n une forme hermitienne à n variables, de[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Autres références

  • DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

    • Écrit par
    • 4 515 mots
    ...pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
    minimum, σ étant donné non entier.

  • LINDEMANN FERDINAND VON (1852-1939)

    • Écrit par
    • 267 mots

    Mathématicien allemand, né le 12 avril 1852 à Hanovre, mort le 1er mars 1939 à Munich.

    À partir de 1870, Ferdinand von Lindemann étudie aux universités de Göttingen, de Munich, puis d'Erlangen, où il obtient son doctorat en 1873. Après des études post-doctorales, il enseigne à l'université de...

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

    • Écrit par
    • 13 001 mots
    ...où on note ωj(1), ωj(2), ..., ωj(n) les conjugués de ωj, est défini au signe près par K. Le carré de ce déterminant est un entier rationnel d ≠ 0, que l'on appelle le discriminant de K ; on a :
    et il n'y a qu'un nombre fini de corps de discriminant donné ( Hermite).

  • QUADRATIQUES FORMES

    • Écrit par
    • 6 414 mots
    • 1 média
    Fonction modulaire - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...donc être vérifiée pour aucun ensemble G non vide. La notion de « réduction » qu'il faut introduire ici est une découverte célèbre d' Hermite. On ordonne l'ensemble H des formes quadratiques positives non dégénérées par la condition que Q1 ≤ Q2 signifie que Q2 − Q...

Voir aussi

Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter