CONIQUES

L'ellipse

Une construction très simple permet d'obtenir autant de points de l'ellipse que l'on en désire. Donnons-nous deux droites perpendiculaires Ox et Oy, et un segment constant PQ dont les extrémités décrivent respectivement Ox et Oy. Un point M situé entre P et Q tel que MQ = a et MP = b décrit une ellipse de centre O, d'axe focal Ox. La tangente en M est perpendiculaire à IM, où I est le quatrième sommet d'un rectangle OPIQ. Deux positions perpendiculaires de PQ (appelé « bande de papier » dans la littérature) correspondent à deux extrémités de diamètres conjugués. I décrit le cercle de centre O et de rayon (a + b) ; le symétrique J de I par rapport à M est lui aussi sur la normale en M ; il décrit le cercle de centre O et de rayon (a − b), et Ox est bissectrice intérieure de l'angle IOJ ; IJFF′ sont sur un même cercle, et forment la figure connue sous le nom de quadrangle harmonique, inverse d'une division .

La projection considérée, que l'on peut relier à l'affinité d'axe AA′ et de rapport b/a, qui transforme le cercle de diamètre AA′ en l'ellipse, est à l'origine d'une représentation paramétrique particulièrement simple de celle-ci. Le transformé du point du cercle définissant, avec Ox, un angle t est en effet le point de l'ellipse de coordonnées x = a cos t, y = b sin t ; t est l'anomalie excentrique de ce point. Deux extrémités de diamètres conjugués, dont les pentes dans ce système d'axes ont pour produit b²/a², ont des anomalies excentriques différentes d'un angle droit. L'équation de l'ellipse en découle ; on pourrait aussi la déduire des formules d'Euler, valables également pour une hyperbole :

L'ellipse intervient notamment en astronomie. Tout point attiré par un autre point F suivant la loi de Newton décrit une conique de foyer F. Les planètes, qui ont un mouvement périodique, décrivent des ellipses, seules coniques à être bornées. L'aire comprise entre la courbe et les droites joignant F à deux positions du point mobile est proportionnelle à l'intervalle de temps séparant les deux positions ; pour une planète, la période T du mouvement est telle que T² soit proportionnel au cube a³ de la longueur :

L'hyperbole

L' hyperbole, à cause de ses asymptotes, possède des propriétés très particulières. Il n'existe pas nécessairement de tangentes ayant une direction donnée (il suffit de considérer des droites passant par le centre et situées dans les deux angles déterminés par les asymptotes où sont situées les deux branches). L'angle de ces asymptotes est l'angle 2z défini par cos z = 1/e. Les points d'intersection avec les tangentes en A et A′ sont les sommets d'un rectangle de côtés 2a et 2b.

Cette dernière propriété se généralise de la façon suivante. Considérons un diamètre P′OP de l'hyperbole. La droite passant par O et parallèle à la tangente en P est le diamètre conjugué de la direction OP. Il ne coupe pas l'hyperbole. Mais si l'on y construit le point Q tel que OP² − OQ² = a² − b², l'aire du triangle OPQ est constante (et vaut ab/2) ; quand P varie, Q décrit une autre hyperbole, dite conjuguée de la précédente, ayant même centre et mêmes asymptotes, échangeant a et b avec la précédente. De plus, la tangente en Qy est parallèle à OP, et coupe la tangente en P sur une asymptote. Enfin la conjuguée de la conjuguée est l'hyperbole originale. Les deux diamètres « conjugués » OP et OQ forment un faisceau harmonique avec les asymptotes. La symétrie par rapport à OP et parallèlement à OQ laisse invariante chacune des deux hyperboles conjuguées.

Revenant à une hyperbole simple, la famille de ses tangentes jouit d'une propriété remarquable (due au fait que les asymptotes sont des tangentes très particulières) ; partant du fait qu'une corde MM′ coupe les asymptotes en des points P et P′ tels que l'on ait MP = P′M′, la tangente en M coupe les asymptotes en Q et Q′ tels que M soit le milieu de QQ′. QQ′FF′ sont situés sur un même cercle et forment un quadrangle harmonique. De plus, si une droite passant par M coupe les asymptotes en P et P′ et se déplace parallèlement à elle-même, le produit MP . MP′ reste constant : il est notamment égal à b² si MPP′ est perpendiculaire à l'axe focal.

L'hyperbole équilatère

Parmi toutes les hyperboles, l'hyperbole équilatère, d'excentricité √2 (a = b), est particulièrement intéressante. Ses asymptotes sont perpendiculaires.

Considérons les sommets A et A′, le cercle de diamètre AA′, un point P décrivant ce cercle. Menons par A la droite symétrique de AP par rapport à la direction de AA′ ; cette droite coupe A′P en M, point de la branche contenant A de l'hyperbole équilatère de sommets A et A′. Le triangle AMA′ est pseudo-rectangle, c'est-à-dire que la différence des angles en A et A′ est égale à un droit. La tangente en M au cercle (AMA′) est perpendiculaire à AA′, qu'elle coupe en H tel que HM² = HA . HA′ (comme dans un véritable triangle rectangle). Si A′PM coupe la tangente au sommet A en le point T, conjugué harmonique de A′ par rapport à M et P, les tangentes en P (au cercle) et en M (à l'hyperbole) se coupent sur AT au milieu de ce segment ; elles coupent AA′ en les projections de P et de M ; M se projette sur AT en un point appartenant à OP, etc.. Cette figure est la base de la correspondance entre les trigonométries circulaire et hyperbolique ; elle inspira à Abraham de Moivre sa fameuse formule :

Si l'aire comprise entre OA, OM et l'hyperbole est égale à a²t/2, les coordonnées de M (dans les axes convenables) sont alors x = a ch t, y = a sh t, d'où l'équation x² − y² = a². Toute hyperbole étant affine d'une hyperbole équilatère de même sommet, l'équation générale d'une hyperbole est donc :

Dans une hyperbole équilatère :