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SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

Formes modulaires

Définition

Soit H l'ensemble des nombres complexes z de partie imaginaire strictement positive. On appelle H (qui est donc inclus dans ℂ) le demi-plan de Poincaré. Le groupe SL2(ℤ) des matrices

avec a, b, c et d dans ℤ et ad – bc = 1 opère à gauche sur H par la formule
. Pour N ∈ ℕ – {0}, notons Γ0(N) le sous-groupe de SL2(ℤ) des matrices
telles que N divise c. Il opère également sur H via l'action de SL2(ℤ). Notons que Γ0(1) = SL2(ℤ).

Les formes modulaires sont certaines fonctions holomorphes sur H vérifiant une équation fonctionnelle liée au choix d'un groupe Γ0(N). Leur définition, donnée ci-dessous en poids 2, est peu éclairante quant à leur formidable richesse.

On appelle forme modulaire de poids 2 et niveau N une fonction analytique (ou holomorphe) f de H dans ℂ vérifiant les deux propriétés suivantes : (7)

 ; (8) f est holomorphe aux pointes.

Expliquons la propriété (8). En appliquant (7) à

, on obtient f ( + 1) = f (z). Comme f est holomorphe et périodique de période 1, la théorie des séries de Fourier nous permet d'écrire
pour des coefficients an appartenant à ℂ, où e2iπnz = cos(2πnz)  + isin(2πnz). Plus généralement, si
appartient à SL2(ℤ), la fonction f|γ définie par
est holomorphe périodique de période un diviseur de N, par exemple 1 si γ ∈ Γ0(N) , et s'écrit ainsi : (9)
pour des an(γ) dans ℂ. On dit que f est holomorphe aux pointes si an(γ) = 0 pour tout γ ∈ SL2(ℤ) et tout n < 0. En particulier, une forme modulaire s'écrit : (10)
. On dit qu'une forme modulaire f est parabolique si a0(γ) = 0 dans (9) pour tout γ ∈ SL2(ℤ). On dit qu'une forme modulaire parabolique est normalisée si de plus a1 = 1 dans (10).

Exemples

Notons M(2, N) l'ensemble des formes modulaires de poids 2 et niveau N et S(2, N) le sous-ensemble de M(2, N) de celles qui sont paraboliques. Si f ∈ M(2, N) et si λ ∈ ℂ, il est facile de vérifier sur (7) et (8) qu'on a encore λf ∈ M(2, N). Si f et g sont deux formes modulaires dans M(2, N), on a de même f + g ∈ M(2, N). Cela reste vrai en remplaçant M(2, N) par S(2, N). Ainsi, M(2, N) et S(2, N) sont naturellement munis d'une structure de ℂ-espace vectoriel. On peut montrer que leur dimension est finie.

Les premiers exemples de formes modulaires, comme la série Θ4 de l'exemple 1 ci-dessous, furent étudiés dès la première moitié du xviiie siècle. En général, il n'est pas facile de se donner explicitement une forme modulaire dans M(2, N) et encore moins dans S(2, N).

Exemple 1. Soit Θ la fonction de H dans ℂ définie par

. Alors la fonction Θ4 est dans M(2, 4) et n'est pas parabolique.

Exemple 2. Soit η la fonction de H dans ℂ définie par

. Alors la fonction η(z)2η(11z)2 est dans S(2, 11). En fait, on a S(2, 11) = ℂη(z)2η(11z)2.

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