SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

Énoncé

Il existe plusieurs formulations équivalentes de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, insistant soit sur l'aspect géométrique, soit sur l'aspect analytique. Nous privilégions ici une formulation explicite plutôt analytique, pouvant par exemple se tester sur ordinateur.

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ. Rappelons que l'on a associé à E un entier N_E, son conducteur, et une fonction L_E de la variable complexe s telle que

Une courbe E étant donnée, un ordinateur peut calculer facilement N_E et les premiers coefficients a_n de L_E(s) à partir de l'équation de E. Comme S(2, N_E) est de dimension finie, l'ordinateur peut alors aisément vérifier que la fonction f_E est bien dans S(2, N_E). Bien entendu, cela ne constitue aucunement une preuve puisqu'il y a une infinité de courbes elliptiques !

Exemple. La courbe elliptique d'équation Y² – X³ + 3³.2⁴X – 3³.2⁴.19 = 0 (minimale en dehors de 2 et 3) donne la forme modulaire η(z)²η(11z)² de l'exemple 2 ci-dessus.

Il faut comprendre que ce théorème est véritablement « miraculeux », car il n'y a a priori aucune raison pour que la fonction f_E vérifie les conditions (7) et (8) avec N = N_E. C'est même étrange, car il est très facile de se donner une courbe elliptique sur ℚ [il suffit de considérer une équation (2)], et donc très facile d'obtenir la fonction f_E (au moins si l'on ne cherche pas à la calculer explicitement), alors qu'il n'est pas facile de se donner une forme modulaire dans S(2, N_E).

Ce théorème a d'abord été démontré par Andrew Wiles (aidé de son ancien élève et compatriote Richard Taylor) en 1994 pour les courbes elliptiques E telles que N_E n'a pas de facteur carré (on dit que la courbe est semi-stable) ; cf. Wiles [1995] et Taylor et Wiles [1995]. Il a introduit à cet effet les principales idées nouvelles de démonstration qui ont été reprises et amplifiées par ses successeurs. Fred Diamond a peu après étendu le résultat aux courbes elliptiques telles que ni 9 ni 25 ne divisent N_E [1996], puis Brian Conrad, Diamond et Taylor en 1997 aux courbes telles que 27 ne divise pas N_E [1999]. Enfin, en 1999, Christophe Breuil, Conrad, Diamond et Taylor ont démontré le cas général [2001]. D'article en article, les démonstrations requièrent une technique mathématique de plus en plus pointue.

Mentionnons deux corollaires de ce théorème. Le premier, très médiatique, et qui découle déjà de la modularité des courbes elliptiques semi-stables démontrée par Wiles, est le grand théorème de Fermat (aⁿ + bⁿ + cⁿ = 0 n'a pas de solution dans ℤ telle que abc ≠ 0 si n > 2). Le principe est de construire à partir d'une solution (pour n = p premier et p > 3) une courbe elliptique dont on montre en utilisant des résultats du mathématicien français Jean-Pierre Serre et du mathématicien américain Kenneth Ribet qu'elle ne peut être modulaire. Pour plus de détails sur ce sujet, nous renvoyons le lecteur à l'article de Catherine Goldstein [1999].

Le second corollaire est le fait, très important, que la fonction de Hasse-Weil L_E peut se prolonger analytiquement sur ℂ et satisfait même une équation fonctionnelle reliant L_E(2 – s) et L_E(s). Cette conséquence est fondamentale, car elle montre que L_E est bien définie au voisinage de s = 1 (notons que 1 ≤ 3/2 ; cf. ci-dessus, 1 Courbes elliptiques. Fonctions L) et permet d'énoncer une autre conjecture mythique sur les courbes elliptiques qui est la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (du nom des mathématiciens[...]