CONNEXITÉ, mathématique

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses propriétés est de ne pouvoir passer d'une valeur positive à une valeur négative sans s'annuler, comme Cauchy et Bolzano l'ont bien perçu dès le début du xix^e siècle.

Cette propriété très intuitive vaut pour tout intervalle I, et non seulement pour les segments. Un peu plus généralement, elle peut s'énoncer sous la forme suivante : l'image d'un intervalle par une fonction continue réelle est un intervalle. La notion de partie connexe C d'un espace topologique (E, O) est une généralisation naturelle des intervalles destinée à parvenir au théorème suivant : l'image d'une partie connexe par une fonction continue est une partie connexe, conçue de manière à ce que les parties connexes de ℝ soient exactement ses intervalles, c'est-à-dire ses parties « sans trou ».

La définition choisie au début du xx^e siècle est extrêmement simple : C est une partie connexe de E si elle ne peut être décomposée en deux parties complémentaires non vides, A et B, telles que la fonction de C dans ℝ définie par f(x) = 1 si x appartient à A et f(x) = 0 si x appartient à B soit continue.

En termes plus abstraits, cela signifie que, pour toute partie stricte A de C, il n'existe pas d'ouverts U et V de E tels que A soit, à la fois l'intersection de A et de U, et l'ensemble des éléments de C extérieurs à V. Autrement dit, pour toute décomposition (A, B) comme ci-dessus, il n'existe pas d'ouverts U et V de E contenant respectivement A et B et tels que l'intersection des ensembles C, U et V soit vide (que U et V soient eux-mêmes disjoints est courant, mais pas indispensable). Si E est une partie connexe de lui-même, on dit que (E, O) est un espace connexe.

Prouver qu'un connexe de ℝ est un intervalle est facile, mais la réciproque est plus délicate. Si a et b sont deux éléments d'un intervalle non connexe C appartenant respectivement à A et B, alors on peut définir deux suites dites « adjacentes » de la forme a_n+1 ≥ a_n < b_n ≥ b_n+1 avec b_n – a_n tendant vers 0, avec a_n dans A et b_n dans B, dont la limite commune devrait à la fois appartenir à A et B, ce qui contredit le fait que ces deux parties sont supposées disjointes.

En dehors du fait que les fonctions continues conservent la propriété de connexité, ce qui est très facile à prouver, l'utilisation essentielle de ce concept réside certainement dans les généralisations naturelles du théorème fondamental selon lequel « une fonction de dérivée nulle est constante ». Écrite sous cette forme, cette propriété est inexacte si la fonction n'est pas définie sur ℝ entier, comme le montre l'exemple de la fonction signe, prenant la valeur 1 pour x > 0 et – 1 pour x < 0. Le bon énoncé est le suivant : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. On peut l'étendre aux fonctions de plusieurs variables.

On est souvent conduit à rechercher des parties connexes C d'une partie X d'un espace topologique (E, O) aussi grandes que possible, c'est-à-dire dont la réunion soit X et qui soient deux à deux disjointes. Ces ensembles sont appelés composantes connexes de X. Toute suite d'éléments de C qui converge dans X a sa limite dans C : on dit que C est fermée relativement à X.

Dans le cas particulier où X est un ouvert de ℝ, ces composantes sont des intervalles ouverts. On peut montrer que, si ces composantes sont en nombre infini, elles définissent une famille dénombrable, c'est-à-dire qui peut[...]