CONTINUITÉ, mathématique

L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire en 1914. Selon Nicolas Bourbaki (pseudonyme collectif regroupant, depuis 1935, des mathématiciens français), Bernhard Riemann (1826-1866) « doit être considéré comme le créateur de la topologie » (bien qu'il n'ait qu'entrevu la théorie générale des espaces topologiques). Georg Cantor (1845-1918) a introduit, entre 1872 et 1884, les notions d'ensemble ouvert et d'ensemble fermé de la droite puis d'espaces à n dimensions. David Hilbert (1862-1943) utilise en 1902 une notion de voisinage, en un sens restreint, et Felix Hausdorff (1868-1942) définit axiomatiquement les espaces topologiques en 1914.

La continuité est l'état ou la propriété de ce qui est continu, et l'un ou l'autre de ces mots du langage courant qui expriment l'idée de non-interruption (dans l'espace ou dans le temps) sont ou furent employés aussi, en des sens plus ou moins spécialisés, dans plusieurs domaines ou disciplines : mathématique bien sûr, mais aussi architecture, botanique, droit, filature, médecine, musique, philosophie, phonétique, physique...

Continuité d'une fonction réelle d'une variable réelle

Intuitivement, on peut penser que le tracé d'une courbe est continu s'il peut se faire entièrement sans lever le crayon et que, dans le cas contraire, il est discontinu.

Soient donc une courbe dessinée dans un plan et un point A sur cette courbe. On pourra dire qu'il y a continuité au point A si, en partant d'un point de la courbe relativement proche de A, situé d'un côté ou de l'autre de ce dernier, on peut atteindre A sans lever le crayon. En interprétant cette situation en termes de fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de la courbe aux alentours du point A permet d'approcher la notion de continuité. Pour cela, choisissons dans ce plan un repère affine, c'est-à-dire un point O appelé origine et deux droites orientées (droites sur chacune desquelles un sens a été choisi), appelées axes de coordonnées, se croisant en O et sur lesquelles peuvent être mesurées des longueurs. Les points de la courbe peuvent être vus comme ayant pour coordonnées x (sur l'axe dit des abscisses) et f (x) [sur l'axe dit des ordonnées], où f est une fonction réelle d'une variable réelle. Si a et f (a) sont les coordonnées du point A, on dira que f est « continue en a » si f (x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f (a) à condition que x soit suffisamment proche de a.

Plus précisément, si f est une fonction de l'ensemble des nombres réels ℝ dans ℝ d'ensemble de définition D, on dit que f est continue en un point a de D si la limite de f (x) quand x tend vers a en appartenant à D existe et est égale à f (a). On dit que f est continue si elle est continue en tout point de D.

Par exemple, les fonctions f et g définies par f (x) = x² et g (x) = 1 /x sont continues en tout point de leur ensemble de définition (g n'est pas définie pour x = 0). Une fonction en escalier, telle que la fonction partie entière, généralement notée E et définie par « E (x) est le plus grand nombre entier relatif inférieur ou égal à x », est discontinue en x si x est un nombre entier relatif, où la fonction fait un « saut ».

Il faut remarquer que l'image intuitive de la courbe est insuffisante, car il y a des fonctions réelles d'une variable réelle qui, étant discontinues en tout point, ne peuvent aucunement être représentées par une courbe. C'est[...]