CONVENTIONNALISME, mathématique

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de l'axiome des parallèles est possible, ce dernier serait-il un jugement synthétique a priori et donc nécessaire ? Des théories aussi cohérentes que celle d'Euclide, appelées géométries non euclidiennes, sont apparues. On ne peut refuser aux jugements non euclidiens le statut de connaissances. Certains soulignent alors le rôle indispensable des conventions, des choix ou des décisions dans l'acceptabilité de la connaissance mathématique. Par exemple, Henri Poincaré (1854-1912) considère l'axiome des parallèles comme une convention, qui ne peut être dite « vraie » ou « fausse ». Parmi toutes les conventions possibles, le choix est guidé par le critère de simplicité et par l'expérience des phénomènes physiques.

Henri Poincaré est souvent considéré comme le père du conventionnalisme mathématique. Dans son célèbre article « Les hypothèses fondamentales de la géométrie » (1887), il compare pour la première fois le choix entre la géométrie euclidienne et celle de Nikolaï Lobatschevski (1792-1856) à celui entre des systèmes de coordonnées. Il précise également que ce choix n'a rien d'arbitraire et que l'adoption de cette conception commence « à devenir banale ». On remarque en effet des tendances conventionnalistes dans les travaux, à peu près contemporains, d'Ernst Mach (1838-1916) et d'Émile Boutroux (1845-1921, beau-frère d'Henri Poincaré). Cependant, il n'est plus possible de dire que le conventionnalisme n'est qu'une conséquence philosophique de la découverte des géométries non euclidiennes puisque, dans son cours sur la mécanique analytique (1847-1848), l'Allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) soutient dans son domaine des thèses fort semblables au conventionnalisme de Poincaré en physique.

Des conventions peuvent intervenir à différents niveaux du savoir mathématique. Ainsi, depuis l'Antiquité, la thèse du caractère conventionnel de la signification linguistique a souvent été soutenue. Après l'introduction des systèmes formels, à la fin du xix^e siècle, les axiomes ont perdu leur statut de propositions vraies ou fausses, en faveur de schèmes de propositions de type R¹ (x¹, ..., xⁿ) ∧ ... ∧ Rⁿ (x¹, ..., xⁿ). De telles propositions ne deviennent vraies ou fausses qu'en interprétant les lettres schématiques Rⁱ par des relations concrètes. Or il est généralement difficile de dire d'un langage qu'il est plus simple qu'un autre, de sorte que le critère poincaréien de simplicité ne s'applique guère à des systèmes non interprétés ; comme le mathématicien poursuit la construction des systèmes formels indépendamment de leurs interprétations, le second critère, relatif à l'expérience des phénomènes physiques, n'est pas non plus pris en considération. Selon le conventionnalisme linguistique ou définitoire, le mathématicien se concentre exclusivement sur la construction d'un système de règles au caractère conventionnel, sans se soucier du problème des applications.

En revanche, le conventionnalisme stricto sensu ne met pas seulement l'accent sur la forme logique du langage mathématique, mais insiste sur l'applicabilité des théories mathématiques. Il possède deux versions :

C 1 : On distingue dans le langage scientifique une partie mathématique (M) et une partie physique (P). On accepte la thèse de Pierre Duhem (1861-1916) : ce qui est vérifiable n'est jamais (M), mais seulement[...]