CONVEXITÉ Ensembles convexes

Aspects quantitatifs

Géométrie des nombres

Ce sont des recherches de théorie des nombres qui furent à l'origine des premiers travaux de Minkowski. Rappelons ici l'énoncé du célèbre théorème de Minkowski : Si C est un sous-ensemble convexe de Rⁿ, symétrique par rapport à l'origine, et de volume V(C) ≥ 2ⁿ, alors C contient au moins un point dont toutes les coordonnées sont des nombres entiers.

Empilements

Un empilement est un arrangement de corps convexes tel qu'aucune paire de ces corps n'ait de point intérieur en commun. Indépendamment de l'intérêt que les problèmes d'empilements ont en eux-mêmes, ce genre de problèmes se retrouve également en théorie des nombres, en théorie de l'information, en cristallographie, en botanique, en construction des réacteurs nucléaires, etc. Très souvent, on cherche à réaliser un empilement de densité maximum. Ainsi, l'empilement de densité maximum de cercles égaux dans le plan est obtenu en décomposant le plan en hexagones réguliers égaux et en inscrivant dans chacun de ces hexagones le cercle de diamètre maximum ; ainsi, chaque cercle en touche exactement six autres. Dans le cas de l'espace à trois dimensions, on a conjecturé que l'empilement de densité maximum de boules égales est obtenu par une construction due à Kepler : on commence par diviser R³ en un échiquier à trois dimensions, où les cubes sont coloriés alternativement en blanc et en noir ; on construit ensuite des boules centrées en chacun des centres des cubes noirs et tangentes à chacune des douze arêtes du cube ; de cette façon, chacune des boules en touche exactement douze autres. Cette conjecture n'a été démontrée que pour des empilements assez réguliers.

Inégalités

Il y a toute une série de résultats quantitatifs relatifs au volume, à la surface, au diamètre, etc., d'un corps convexe. Par exemple, l'inégalité isopérimétrique exprime que la surface S et le volume V d'un corps convexe C de Rⁿ vérifient l'inégalité :

où ω est le volume de la boule unité de Rⁿ ; de plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si C est une boule, c'est-à-dire que, parmi les corps convexes de volume donné, les boules constituent ceux dont la surface est minimum. De plus, tout corps convexe C de Rⁿ est contenu dans une boule de rayon minimum r, et cette boule est unique ; l'inégalité de Jung affirme que si on désigne par d le diamètre du corps C (c'est la borne supérieure des longueurs des segments dont les extrémités appartiennent à C), on a :

cette inégalité devient une égalité si et seulement si C est un simplexe régulier de n + 1 sommets dans Rⁿ. Un théorème de Loewner affirme que tout corps de Rⁿ est contenu dans un ellipsoïde de volume minimum ; cet ellipsoïde joue un rôle important dans la théorie des modèles expérimentaux.

Volumes mixtes

Soit C₁, C₂, ..., C_k des corps convexes de Rⁿ, et λ₁, λ₂, ..., λ_k des nombres réels positifs ; l'ensemble des points de la forme :

où x_i parcourt C_i pour tout i, est un corps convexe C, que nous désignerons par :

lorsque C₁, ..., C_k sont fixés, le volume de C s'exprime par un polynôme homogène de degré n en les variables λ₁, ..., λ_k. Certains des problèmes les plus fondamentaux de la théorie quantitative des corps convexes sont liés à l'étude des coefficients de ces polynômes, appelés volumes mixtes de C₁, ..., C_k. L'outil de base, dans l'étude des volumes mixtes, est le théorème de Brunn-Minkowski, qui affirme que, pour tout λ compris entre 0 et 1, on a :

c'est-à-dire que la racine n-ième du volume est une fonction concave de λ. Les inégalités pour les volumes mixtes engendrent de nombreuses inégalités d'intérêt géométrique, en particulier l'inégalité isopérimétrique.

Corps de largeur constante

Un corps convexe C de Rⁿ est[...]

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Écrit par

Victor KLEE : professeur à l'université de Washington.

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...par contre, il en est tout autrement. La difficulté est que, pour rendre X compact, il faudra avoir recours à des topologies tellement faibles qu'elles ne laisseront plus à f aucune chance d'être continue. Laconvexité seule peut sauver la situation, et encore, dans certains espaces seulement.