CONVEXITÉ Fonctions convexes

Les N-fonctions

Considérons  maintenant  les  fonctions convexes définies sur R à valeurs dans R et qui admettent une représentation de la forme :

où ϕ est une fonction définie sur [0, + ∞[, croissante, continue à droite, nulle en 0, telle que :

ces fonctions présentent un intérêt particulier pour la définition des espaces d'Orlicz ; ce sont les N-fonctions. Il s'agit, en fait, des fonctions convexes paires définies sur R à valeurs dans R strictement croissantes sur [0, + ∞[, telles que :

Les N-fonctions vérifient, en outre, les inégalités :

 

Soit f une N-fonction exprimée sous la forme (4) ; posons :

Si ϕ est continue strictement croissante, ψ est la fonction réciproque de ϕ.

Remarquons qu'à un intervalle sur lequel ϕ est constante correspond un saut de la fonction ψ et qu'à un saut de la fonction ϕ correspond un intervalle sur lequel ψ est constante ; si l'on rajoute aux courbes représentatives de ϕ et de ψ les segments verticaux qui correspondent aux sauts des fonctions ϕ et ψ (ce sont les seules discontinuités possibles puisque ces fonctions sont monotones), on obtient des courbes symétriques par rapport à la première bissectrice. Une démarche analogue effectuée sur la fonction ψ redonne la fonction ϕ.

Si, maintenant, on pose :

on obtient une N-fonction appelée fonction conjuguée de la fonction f.

L'inégalité suivante, appelée inégalité de Young, dont la signification géométrique obtenue en interprétant f (x) et g (y) comme des aires est suggérée sur la figure,a lieu :

L'égalité est atteinte lorsque x ≥ 0 et y = ϕ (x) ; si bien que l'on a :

et qu'on a de même :

Comme g(y) ≥ xy − f (x) et que l'égalité a lieu pour au moins une valeur x₀ de x, on peut dire que :

Cette inégalité a une interprétation géométrique simple en introduisant le point M d'abscisse x sur la droite D passant par l'origine de coefficient directeur y et le point N d'abscisse x sur la courbe représentative de g  ; alors :

Remarquons que, si f est dérivable, la tangente au graphe de f en N₀ est parallèle à la droite D et l'équation de cette tangente est t(x) = xy − g(y). La fonction g est la transformée de Legendre de f.

On peut aussi dire que la fonction t(x) = xy − g(y) est la plus grande fonction affine de coefficient directeur y qui minore f.

Si p > 1, la fonction f (x) = |x|^p/p est un exemple de N-fonction ; pour x > 0, on a f′(x) = x^p-1 et (f′)^-1(x) = x^q-1, où 1/p + 1/q = 1 ; par conséquent la fonction g conjuguée de f est définie par g(x) = |x|^q/q.

Les espaces d'Orlicz

Soit f une N-fonction, notons l_f l'ensemble des suites réelles (x_i)_i≥0 telles qu'il existe α > 0 pour lequel :

l_f est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites que l'on munit d'une norme en posant :

Muni de cette norme, l_f est un espace de Banach (cf. espaces vectoriels normés), appelé espace d'Orlicz de suites associé à la N-fonction f.

On peut montrer que l_f est aussi l'ensemble des suites réelles (x_i)_i≥0 telles que :

où g est la fonction conjuguée de f.

On définit alors une autre norme sur l_f en posant :

Cette norme est équivalente à la première ; plus précisément :

Lorsque f vérifie, en outre, la condition :

ce qui se produit si et seulement si :

l'espace l_f est aussi l'espace des suites (x_i)_i≥0 tel que, pour tout α > 0, l'inégalité (8) ait lieu ; l_f est alors un espace de Banach séparable ; son dual est isomorphe à l_g, où g est la conjuguée de f, grâce à l'isomorphisme :

où :

avec :

L'application de ces considérations à la N-fonction f (x) = |x| ^p/p, avec p > 1, donne pour espace d'Orlicz de suites l'espace l_p (cf. espaces vectoriels normés). Une étude analogue peut être conduite dans le cadre de l'intégration, en définissant l'ensemble L_f(K) des fonctions x(t), définies à un ensemble de mesure nulle près, d'un compact K de Rⁿ, à valeurs dans R telles qu'il existe α > 0 pour lequel on a :

Comme dans le cas des suites, L_f(K) est aussi l'ensemble des fonctions x(t) pour lesquelles :

L_f(K) muni de l'une des deux normes équivalentes :

est un espace de Banach appelé espace d'Orlicz de fonctions associé à la N-fonction f.