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CORPS, mathématiques

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Théorie élémentaire des corps commutatifs

Adjonction, extensions simples

Soit L un corps et K un sous-corps de L. Pour tout sous-ensemble S de L, l'intersection des sous-corps de L qui contiennent K et S est un sous-corps de L, que l'on appelle le sous-corps obtenu par adjonction de S à K, et que l'on note K(S). Si K(S) = L, on dit que S est un système de générateurs de L sur K. Un cas particulier important est celui où S est réduit à un seul élément x : l' extension obtenue est notée K(x), et on dit que c'est une extension simple de K. En effet, toute extension L d'un corps K peut être obtenue par adjonctions « répétées » d'un élément (lorsque L possède un système S fini ou dénombrable de générateurs, l'expression « répétées » a le sens classique ; pour la définir dans le cas général, il faut faire une récurrence transfinie après avoir muni S d'un bon ordre, ce qu'autorise l'axiome de Zermelo).

Soit L une extension simple d'un corps K, et soit x un générateur, c'est-à-dire que L = K(x). On peut faire un raisonnement tout à fait parallèle à celui qui a été fait à propos de la caractéristique. En effet, deux cas se présentent :

– Les monômes xn sont linéairement indépendants sur K, c'est-à-dire qu'une relation telle que :

avec les ai dans K, n'est possible que si a0 = a1 = a2 = ... = an = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps K(X) des fractions rationnelles sur K. On dit que x est transcendant et que K(x) est une extension transcendante simple de K. Évidemment, tout élément y de K(x) qui n'appartient pas à K est transcendant sur K et on a K(y) = K(x). Les exemples classiques de nombres transcendants sur Q sont ceux de e = 2,718 28..., base des logarithmes népériens, et π = 3,141 59..., rapport de la circonférence d'un arc à son diamètre (cf. nombres transcendants).

– Il existe un polynôme non constant, que l'on peut supposer irréductible, P(X), à coefficients dans K tel que P(x) = 0. Le corps K(x) est alors isomorphe au corps de restes K[X]/(P(X)). On dit que x est algébrique sur K et que K(x) est une extension algébrique simple de K. Si le polynôme P(X), que l'on appelle polynôme minimal de x, est de degré n, (1, x, x2, ..., xn-1) est une base de K(x) sur K et on a donc [K(x) : K] = n.

Extensions algébriques, bases de transcendance

On peut généraliser ce qui vient d'être dit au précédent paragraphe. Un élément x d'une extension L d'un corps K est algébrique s'il vérifie une équation algébrique à coefficients dans K :

ou, en d'autres termes, si l'extension simple K(x) de K est algébrique. Si tous les éléments de L sont algébriques sur K, on dit que L est une extension algébrique de K. Ainsi en est-il d'une extension algébrique simple. On peut montrer facilement que toute extension algébrique engendrée par un nombre fini d'éléments est finie. La réciproque étant claire, il n'y a pas lieu de distinguer les extensions finies de celles que l'on appelle parfois extensions algébriques finies.

Revenons maintenant au cas général d'une extension quelconque L d'un corps K. Un sous-ensemble S de L est algébriquement indépendant sur K, par définition, si, pour tout sous-ensemble fini (s1, s2, ..., sn) de S, il n'existe aucun polynôme à coefficients dans K non nul P(X1, X2, ..., Xn), tel que P (s1, s2, ..., sn) = 0. Le corps K (s1, s2, ..., sn) engendré sur K par les si est alors isomorphe au corps des fractions rationnelles à n variables sur K, K(X1, X2, ..., Xn). Une base de transcendance de L sur K est un sous-ensemble T de L, algébriquement indépendant sur K, et tel que L soit une extension algébrique de K(T). On démontre qu'il existe toujours de telles bases de[...]

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Écrit par

  • : professeur à la faculté des sciences de Lille
  • Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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  • ALGÈBRE

    • Écrit par
    • 7 145 mots
    ...par exemple, l'ensemble des éléments distincts de l'élément neutre pour la première loi (noté 0) est un groupe pour la seconde loi, on dit que l'anneau est un corps. Ici on considérera seulement le cas où la multiplication est commutative, en renvoyant à la fin du chapitre 3 le cas non commutatif.

  • CONSTRUCTION, mathématique

    • Écrit par
    • 1 392 mots

    Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

  • GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

    • Écrit par et
    • 2 062 mots
    • 1 média
    Évariste Gallois - crédits : Archives de la ville de Bourg-la-Reine
    ...que tardivement connus. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre – ce qu'Abel avait affirmé – que le corps engendré par les racines d'une équation...

  • HENSEL KURT (1861-1941)

    • Écrit par
    • 382 mots

    Mathématicien allemand, Kurt Hensel est né le 21 décembre 1861 à Königsberg et mort le 1er juin 1941 à Marburg. Il est le créateur de la théorie des nombres p-adiques. Kurt Hensel soutint en 1886 sa thèse, à Berlin, devant Kronecker, avec qui il était très lié. Il enseigna à Berlin,...

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