CORPS, mathématiques

Corps non commutatifs

On a examiné jusqu'à présent des corps qui étaient commutatifs, mais l'étude des corps non commutatifs n'est pas d'un moindre intérêt.

Si K est un corps non commutatif, l'ensemble Z des éléments de K qui permutent avec tout élément x, c'est-à-dire tels que xz = zx, est visiblement un corps commutatif que l'on appelle le centre de K. Nous avons déjà signalé l'exemple des quaternions H dont le centre n'est autre que le corps R des nombres réels. Voici un autre exemple dû à Hilbert :

Soit F_q un corps fini à q = p^r éléments (r ≥ 2), si on munit l'ensemble des séries formelles Σa_nTⁿ sur F_q de l'addition habituelle et d'une multiplication déduite par distributivité et associativité de la règle élémentaire Ta = a^pT, on obtient un corps non commutatif F′_q((T)). Il est facile de voir que le centre de ce corps est formé des séries formelles constantes a₀ où a₀∈ F_p et qu'il est donc isomorphe à F_p. Les séries formelles à coefficients dans F_p forment un sous-corps commutatif de F′_q((T)).

On peut développer au sujet des corps non commutatifs des considérations tout à fait analogues à celles qui ont été faites dans le cas des corps commutatifs. En particulier, on sait définir la caractéristique d'un corps non commutatif, et cette caractéristique n'est autre que celle du centre. De même, si L est un corps non commutatif et K un sous-corps de L, la notion d'adjonction à K d'un sous-ensemble S de L garde tout son sens. Il est à remarquer que si K est commutatif et x un élément de L qui permute avec tout élément de K, le sous-corps K(x) de L obtenu par adjonction de x à K est encore commutatif, ce qui permet de démontrer l'existence de sous-corps commutatifs maximaux dans L (c'est-à-dire de sous-corps commutatifs qui ne sont contenus strictement dans aucun autre sous-corps commutatif). L'étude des automorphismes des extensions commutatives finies d'un corps commutatif conduit à ce qu'on appelle la théorie de Galois. Mais il existe une théorie de Galois non commutative due à E. Noether et T. Skolem (1928), dont on donne ci-dessous quelques résultats. Si K est un corps non commutatif de centre Z, il est facile de mettre en évidence des automorphismes de K qui laissent Z fixe : pour tout élément non nul x de K, l'application y ↦ xyx^-1 de K dans K est un automorphisme σ^x de K. Les automorphismes de la forme σ^x sont appelés les automorphismes intérieurs de K. Un théorème de Skolem-Noether assure que, si K est un corps non commutatif de degré fini sur son centre Z, il n'existe pas d'autres automorphismes de K laissant Z fixe que les automorphismes intérieurs. Un autre théorème permet de préciser la structure des corps non commutatifs K de degré fini sur son centre Z. Si L est un sous-corps de K qui contient Z, l'ensemble L′ des éléments y de K tels que xy = yx pour tout x dans L est un sous-corps de K qui contient Z et que l'on appelle le commutant de L. On voit facilement que, si on répète l'opération, on a (L′)′ = L. De plus, on a l'égalité [K : Z] = [L : Z] [L′ : Z]. Il résulte immédiatement des définitions qu'un sous-corps L est commutatif si, et seulement si, L ⊂ L′ et que les sous-corps commutatifs maximaux sont ceux pour lesquels L = L′. Si bien que, si n est le degré sur Z d'un sous-corps commutatif maximal de K, on a [K : Z] = n² : le degré d'un corps non commutatif sur son centre est toujours un carré. C'est bien ce qu'on vérifie dans le cas du corps H des quaternions où C est un sous-corps commutatif maximal[H : R] = 4 = 2² = [C : R]².

Signalons enfin que R.  Brauer a pu munir l'ensemble Br(Z) des classes d'isomorphisme de corps de centre Z et de degré fini[...]