COSMOLOGIE

La relativité restreinte

C'est à Einstein que nous devons les deux théories de la relativité. L'énoncé essentiel de la relativité restreinte concerne la vitesse de la lumière, postulée constante dans le vide, quel que soit l'état de mouvement de la source ou de l'observateur. Ainsi, nul objet que nous observons ne nous est contemporain : la lumière met 8 minutes environ pour nous parvenir du Soleil, plusieurs années d'une étoile plus éloignée, plusieurs milliards d'années d'une galaxie lointaine. Par conséquent, l'astronome qui regarde loin dans l'Univers regarde aussi loin dans le passé et observe des « tranches d'Univers » d'autant plus anciennes qu'elles sont éloignées : une galaxie lointaine est observée très jeune, surprise peu après sa naissance, telle qu'elle était il y a quelques milliards d'années ; une autre, au contraire, plus proche, nous apparaît après avoir évolué pendant plusieurs milliards d'années. Nul doute que ces deux objets sont différents, autant que peuvent être différents un vieillard et un nourrisson. Deux effets se mélangent donc dans l'observation des galaxies lointaines : l'évolution propre de ces objets – qui nous fait observer les galaxies lointaines encore au berceau – et l'évolution cosmologique – les galaxies proches se situent dans l'espace « ancien », les galaxies lointaines dans l'espace « récent ». Une distinction qui s'impose dès que l'on admet que l'espace puisse évoluer. Il nous faudra donc parler non plus de points de l'espace mais d'événements de l'espace-temps : une galaxie là-bas et autrefois ; une autre ici et maintenant. C'est encore une raison pour laquelle, en cosmologie, plutôt que de caractériser un objet observé par sa distance spatiale ou par sa distance temporelle (le temps mis par la lumière pour nous parvenir), il est beaucoup plus satisfaisant d'utiliser le décalage spectral z, grandeur « mixte » idéale pour les cosmologues.

L'Univers de la relativité générale

La relativité générale joue un rôle encore plus fondamental que la relativité restreinte, car elle permet de concevoir une géométrie propre de l'Univers. Dans la physique non relativiste, la géométrie est très simple (elle est dite euclidienne : c'est celle que nous apprenons à l'école, où les parallèles existent et ne se rencontrent jamais, où l'on ne revient jamais à son point de départ en allant toujours tout droit, etc.) et l'Univers ne peut qu'être muni de cette géométrie ordinaire qui, unique, ne saurait évoluer au cours du temps. Le discours sur l'Univers est alors rapidement limité, faute d'objet. Au contraire, la relativité générale offre une riche diversité de géométries possibles, dont la géométrie euclidienne n'est qu'un cas bien particulier. Ces géométries définissent par exemple (bien que non totalement) l'extension spatiale de l'Univers, finie ou infinie, les lois de propagation de la lumière et bien d'autres propriétés qui sont triviales dans la géométrie ordinaire. Cette géométrie n'est pas statique mais peut évoluer au cours du temps : l'Univers ne possède pas seulement une structure, il possède aussi une histoire.

En fait, géométrie et évolution de cette géométrie peuvent se concevoir comme deux aspects d'une géométrie « élargie » qui opère non pas dans l'espace tel que nous le connaissons (avec trois dimensions : hauteur, largeur, profondeur), mais dans l'espace-temps à quatre dimensions, le rôle de cette quatrième dimension étant joué par le temps. Cela traduit le fait que les équations de la relativité générale traitent d'une manière relativement semblable les aspects géométriques et chronométriques du cosmos. C'est une façon de s'accommoder du fait que temps et espace absolus n'existent plus.

Une première difficulté de la théorie relativiste du cosmos provient du fait que nous avons l'habitude de la géométrie à trois et non pas à quatre dimensions. De la droite au plan, puis à l'espace « ordinaire », on évolue de une à deux et à trois dimensions, mais il nous est impossible de nous représenter ce que serait le pas suivant pour arriver à un espace, même euclidien, à quatre dimensions. Une seconde difficulté provient des propriétés structurales inhabituelles de cette géométrie. Les mathématiciens appellent variété, et plus particulièrement, dans le cas qui nous occupe, variété différentiable ou riemannienne, un tel espace généralisé. On peut dire que la variété espace-temps est aussi complexe (et donc riche en structures), par rapport à un espace euclidien à quatre dimensions, qu'une surface arbitraire peut l'être par rapport au plan. Les mathématiques permettent heureusement de décrire de telles structures ; non pas globalement, mais plutôt en s'intéressant, en chaque point, aux propriétés dites métriques, permettant de calculer des longueurs et des durées (en fait des « intervalles » combinant les deux puisque les propriétés temporelles doivent être adjointes aux propriétés spatiales). L'essentiel de la structure géométrique du cosmos (incluant, rappelons-le, sa propre évolution) est exprimée par une expression que l'on appelle la métrique ds². Pour être complet, il faut aussi préciser sa topologie.

Métrique

L'espace ordinaire est muni de trois dimensions x, y et z. Entre deux points séparés de dx en hauteur, dy en largeur et dz en profondeur, le carré de la distance s'écrit de manière simple :

Or, si la relativité restreinte énonce que la distance spatiale ou l'intervalle de temps entre deux événements bien définis apparaissent différents à deux observateurs distincts et sont donc relatifs, la quantité ds² définie plus haut est au contraire absolue. C'est dans cette propriété remarquable que réside l'originalité de la théorie.

Cette formule ne décrit qu'un espace-temps « plat », sans courbure, tel qu'on pourrait le concevoir à partir de la relativité restreinte. La relativité générale le munit d'une structure beaucoup plus riche, décrite par une métrique plus complexe. Cette dernière s'écrit dans un formalisme particulier, dit tensoriel, qui cache sa complexité sous une forme simple en apparence. Toutes les propriétés structurales s'expriment par un être mathématique, g, appelé tenseur métrique.

Ainsi la relativité générale énonce que la structure de l'Univers se décrit par le tenseur métrique. Dès lors, deux problèmes se posent : comment, et à partir de quoi déterminer g ? En outre, une fois g connu, comment en déduire la structure de l'Univers et son évolution ? La réponse à la première question est donnée par la relativité générale, qui stipule que g est déterminé par le contenu énergétique de l'Univers, selon l' équation d'Einstein.

Cette équation, équivalente à un système de dix équations différentielles, relie g (en fait, pas g directement mais un autre tenseur qui lui est lié et qui, comme lui, caractérise la structure de l'Univers) à un autre tenseur, T, représentant le contenu de l'Univers (essentiellement d'ailleurs sa densité d'énergie et sa pression), le tenseur d'énergie-impulsion.

Le contenu, c'est tout ce qui détient de l'énergie, aussi bien la matière ordinaire que le rayonnement, ou que toute autre forme de substance que nous n'aurions pas détectée. Ainsi, pour peu que l'on connaisse ce contenu, on peut calculer la structure de l'Univers. C'est ce que réalisent, avec quelques hypothèses supplémentaires, les modèles cosmologiques.

La métrique de Robertson-Walker

Construire un tel modèle consiste à résoudre, au moins partiellement, les équations d'Einstein. N'ayant qu'une information partielle sur le contenu de l'Univers, il est nécessaire d'introduire des hypothèses pour aller de l'avant. L'hypothèse d'homogénéité s'énonce, nous l'avons vu, sous le nom de principe cosmologique et la classe des modèles d'Univers homogènes est la plus importante. Aussi ce seront ceux que nous présenterons. La simple hypothèse d'homogénéité impose à la métrique une forme particulière, dite métrique de Robertson-Walker, s'écrivant :

La métrique de Robertson-Walker peut être interprétée par comparaison avec la métrique décrivant l'espace-temps « ordinaire », sans propriétés structurales. Laissant de côté les termes angulaires r²dΩ² (il suffit de choisir des coordonnées centrées sur l'un des deux événements pour ne pas avoir à les faire intervenir), nous aurons à comparer une expression de type :

La structure de l'espace proprement dit (à trois dimensions) concerne les relations entre des points à un même instant donné t de l'histoire cosmique, autrement dit des événements contemporains ; l'intervalle de temps dtles séparant étant nul, la distance se réduit à :

La seconde remarque concerne la présence du facteur R(t). Toute distance mesurée à l'instant t, par exemple la distance entre deux galaxies, est d'autant plus élevée que R(t) est grand, alors que les coordonnées de ces galaxies n'ont pas varié. R(t), nommé facteur d'échelle, croît au cours du temps et exprime donc l'expansion universelle : toutes les distances cosmiques croissent, universellement, comme R(t). Reste à déterminer ce facteur R(t) et la valeur de k.