COURBES ALGÉBRIQUES

Quelques exemples

Strophoïde - crédits : Encyclopædia Universalis France — Strophoïde
Encyclopædia Universalis France

La courbe dont l'équation affine est :

c'est-à-dire dont l'équation projective, en coordonnées homogènes, est :

est appelée cubique nodale.

Elle admet l'origine (x = 0, y = 0, z = 1) comme point double (de multiplicité 2) ; les deux tangentes en ce point sont les droites y = ± x. Le point (x = 0, y = 1, z = 0) est un point simple, pour lequel la tangente z = 0 coupe la courbe avec la multiplicité 3 : on l'appelle un point d'inflexion. Les cubiques nodales sont toutes projectivement identiques. On rencontre le modèle métrique :

qui a quelques propriétés liées à la géométrie du cercle et qu'on appelle la strophoïde. On rencontre également le modèle métrique :

appelé cubique de Tschirnhausen, pour lequel la longueur de l'arc est fonction rationnelle des coordonnées.

Cissoïde - crédits : Encyclopædia Universalis France — Cissoïde
Encyclopædia Universalis France

La courbe dont l'équation affine est :

est appelée cubique cuspidale. Elle admet l'origine (x = 0, y = 0, z = 1) comme point double (de multiplicité 2) ; il y a en ce point une tangente unique y = 0. Les cubiques cuspidales sont toutes projectivement identiques. On rencontre le modèle métrique :

lié à la géométrie du cercle, et qu'on appelle la cissoïde. La développée de parabole est aussi une cubique nodale.

Hypocycloïde - crédits : Encyclopædia Universalis France — Hypocycloïde
Encyclopædia Universalis France

La courbe dont l'équation projective est :

est une quartique tricuspidale. Elle admet les trois sommets du repère (0, 0, 1 ; 0, 1, 0 ; 1, 0, 0) comme points doubles, en chacun desquels il y a une tangente unique : respectivement les droites x = y, z = x, y = z, concourantes au point unitaire. Lorsque le repère est choisi suivant un triangle équilatéral dont le point unitaire est le centre, la courbe métrique ainsi définie est connue sous le nom d'hypocycloïde à trois rebroussements.

La suite de cet article est accessible aux abonnés

Des contenus variés, complets et fiables
Accessible sur tous les écrans
Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Luc GAUTHIER : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Médias

Coordonnées - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française. — Coordonnées

Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

Afficher les 8 médias de l'article COURBES ALGÉBRIQUES

Autres références

BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)
- Écrit par Jacques MEYER
- 172 mots
Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
- 11 465 mots
- 3 médias
...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré....
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 342 mots
Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)
- Écrit par Encyclopædia Universalis
- 212 mots
Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...
Afficher les 25 références

COURBES ALGÉBRIQUES

Quelques exemples

BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)

CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)