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COURBES ALGÉBRIQUES

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Courbes unicursales

Lorsqu'on a obtenu pour une courbe une représentation paramétrique uniforme, on détient un moyen commode pour l'étude de ses propriétés globales. C'est la raison de l'intérêt porté aux courbes unicursales, c'est-à-dire aux courbes qui, en coordonnées affines, admettent une représentation paramétrique rationnelle :

où P, Q, R sont des polynômes en t.

Les courbes unicursales sont souvent appelées les courbes rationnelles, car il résulte d'un théorème de Lüroth qu'elles sont les transformées birationnelles des droites projectives.

Les coniques (courbes algébriques irréductibles du second degré) sont rationnelles ; elles admettent en effet la forme réduite projective :

qui conduit à la représentation :
où t, θ sont des paramètres complexes. De ce fait, on peut définir sur une conique le birapport de quatre points, les divisions homographiques et involutives. Ces notions peuvent être étendues à toute courbe rationnelle.

L'équation de la tangente au point courant d'une courbe paramétrique et la théorie des enveloppes montrent qu'il y a identité entre les courbes qui sont rationnelles du point de vue ponctuel et les courbes qui sont rationnelles du point de vue tangentiel.

Les cubiques rationnelles sont les cubiques à point double, dont nous avons donné les deux modèles ; la cubique nodale citée ci-dessus admet pour représentation :

et la condition nécessaire et suffisante pour que trois points de la courbe soient alignés est t1t2t3 = 1.

La cubique cuspidale citée ci-dessus admet la représentation :

et la condition d'alignement de trois points est :

Les courbes rationnelles sont, parmi les courbes irréductibles de leur degré, celles qui ont les singularités les plus importantes, soit par leur nombre, soit par la complexité de leur structure : si une courbe rationnelle de degré n n'a que des points doubles de même nature que ceux des cubiques, ces points sont au nombre de :

C'est ainsi que la quartique tricuspidale citée plus haut est rationnelle ; elle admet la représentation :

Trifolium - crédits : Encyclopædia Universalis France

Trifolium

Encyclopædia Universalis France

Mais la quartique d'équation (affine) :

que l'on appelle parfois trifolium, admet un seul point singulier, l'origine, qui est un point triple. En coupant cette courbe par les droites issues de O, on obtient sans difficulté la représentation paramétrique :

L'existence de points doubles plus complexes (points infiniment voisins, contact des branches algébroïdes) permet de donner des exemples d'une nature différente.

Quartique (1) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Quartique (1)

Encyclopædia Universalis France

La quartique d'équation (affine) :

admet deux points doubles ; le point A (x = 0, y = 1), qui est un point nodal, et l'origine, qui est un point tacnodal (contact de deux branches algébroïdes). Cette quartique admet la représentation paramétrique :

Quartique (2) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Quartique (2)

Encyclopædia Universalis France

La quartique d'équation (affine) :

admet un point double unique, à l'origine ; c'est un point oscnodal (osculation de deux branches algébroïdes). Cette singularité suffit à assurer la rationalité, et la quartique proposée admet la représentation paramétrique :

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  • : ancien vice-doyen de la faculté des sciences de Paris

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Autres références

  • BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

    • Écrit par
    • 173 mots

    Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

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    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    ...est, aux environs du point de contact, tout entière d'un même côté de la courbe, il réussit à ramener la détermination de la tangente en un point d'une courbe algébrique à la recherche de l'extrémum d'une fonction algébrique, d'où il déduit la sous-tangente à la courbe donnée au point considéré....

  • CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)

    • Écrit par
    • 342 mots

    Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...

  • CLAIRAUT ALEXIS CLAUDE (1713-1765)

    • Écrit par
    • 212 mots

    Mathématicien français. Né à Paris, Clairaut (ou Clairault) fit, sous la conduite de son père qui était professeur de mathématiques, de tels progrès en cette science qu'à l'âge de douze ans il lisait devant l'Académie une note sur les propriétés de quatre courbes qu'il avait découvertes. Ses ...

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