DÉMONSTRATION (notions de base)

La question des prémisses

Cependant, pour que la communication soit « quasi parfaite », une condition est nécessaire : il faut que les interlocuteurs s’accordent sur les points de départ de leurs démonstrations. Démontrer, en géométrie comme en logique, c’est en effet prouver qu’une conclusion découle nécessairement d’un ensemble de prémisses que l’on a préalablement admis pour vrai. La vérité de la conclusion dépend donc de la validité des prémisses, et les sophistes auront beau jeu de contester la vérité des philosophes en mettant en évidence cette fragilité propre à toute démonstration.

Platon, avec une avance considérable sur ses contemporains, fut le premier, malgré l’immense admiration qu’il vouait aux sciences mathématiques, à les qualifier d’« hypothétiques », ainsi qu’il le fait au livre VI de sa République. Celui qui fut peut-être son élève, le mathématicien Euclide (env. 325-env. 265 av. J.-C.), reconstruisit dans un livre majeur intitulé Les Éléments la totalité de la géométrie à laquelle on donna son nom (on parle de géométrie « euclidienne »). Cet ouvrage fait depuis vingt-quatre siècles l’admiration de tous les hommes de science. Euclide y déduit les uns des autres, en les classant hiérarchiquement, tous les théorèmes qu’avaient démontrés ses prédécesseurs, puis il montre qu’il faut accepter, en deçà des théorèmes démontrés, des hypothèses de départ, qu’il dénomme « axiomes » et « postulats ». Pour Euclide, certains de ces points de départ relèvent de l’évidence, et c’est à ceux-là qu’il donne le nom d’« axiomes » (terme issu d’un mot grec signifiant « ce qui a force ou valeur »). En revanche, d’autres prémisses n’ont nullement ce caractère d’évidence, et il leur donne un nom grec que l’on traduit par « postulat » (mot d’origine latine apparenté au verbe postulare qui signifie « demander »).

Il n’est pas interdit de penser que Platon fut plus lucide que son disciple Euclide auquel il aurait refusé d’accorder cette différence entre « axiomes » et « postulats ». Selon Platon, les prémisses de la géométrie comme de la logique sont arbitraires et ne relèvent d’aucune évidence. Mais les esprits du temps n’étaient pas assez mûrs pour accorder à Platon qu’il existait de l’arbitraire au point de départ des mathématiques.

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Écrit par

Philippe GRANAROLO : professeur agrégé de l'Université, docteur d'État ès lettres, professeur en classes préparatoires

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