DÉMONSTRATION (notions de base)

Les logiques du possible

Au cours des deux derniers siècles, de nouvelles logiques très sophistiquées ont vu le jour, qui reposent non plus sur des énoncés mais sur des ensembles, des tables de vérité, etc. Présentées comme les Éléments d’Euclide sous forme « axiomatique » (hypothèses initiales suivies d’une suite de propositions démontrées), elles rendent problématique la différence qui existait jusqu’alors entre logique et mathématique. Cette évolution a fait dire au philosophe et mathématicien Bertrand Russell (1872-1970) que « la logique est devenue plus mathématique et que les mathématiques sont devenues plus logiques [...] En fait les deux ne font qu’un. Elles diffèrent comme un enfant diffère d’un homme ; la logique est la jeunesse des mathématiques comme les mathématiques sont la virilité de la logique ».

Un moment privilégié fut la tentative de certains géomètres de la fin du xix^e siècle de démontrer par l’absurde le cinquième postulat d’Euclide, selon lequel, « par un point en dehors d’une droite ne peut passer qu’une seule parallèle à cette droite ».

On a recours à une démonstration par l’absurde quand il s’avère impossible de démontrer directement une proposition. On suppose alors le point de départ valide, et on en tire des conséquences jusqu’à ce qu’on débouche sur une proposition absurde qui suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une droite on peut tracer une infinité de parallèles à cette droite. Riemann, quant à lui, partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une droite on ne peut tracer aucune parallèle à cette droite. Mais en tirant toutes les conséquences de ces axiomes, ils ne parvinrent à aucun moment à une contradiction. Tous deux venaient d’inventer ce qu’on appellera les « géométries non euclidiennes », la géométrie des espaces à courbure négative pour Lobatchevski, la géométrie des espaces à courbure positive pour Riemann.

Ces géométries non euclidiennes ont trouvé des applications précieuses, notamment en astrophysique. Elles dramatisent davantage encore une interrogation qui ne trouve aucune réponse satisfaisante et à laquelle Albert Einstein a donné sa formulation définitive : « Ce qui est incompréhensible, c’est que l’univers soit compréhensible. » Comment les mathématiques, et en particulier les géométries, pures inventions de l’esprit humain qui imagine des axiomes arbitraires et en développe les conséquences, peuvent-elles nous aider à comprendre une nature dont nous ne sommes pas les créateurs ?

La suite de cet article est accessible aux abonnés

Des contenus variés, complets et fiables
Accessible sur tous les écrans
Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Philippe GRANAROLO : professeur agrégé de l'Université, docteur d'État ès lettres, professeur en classes préparatoires

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Autres références

GENRES LITTÉRAIRES, notion de
- Écrit par Guy BELZANE
- 1 847 mots
Avant d'être une notion problématique, inscrite dans une histoire et lourde d'enjeux esthétiques, les genres littéraires sont, pour la plupart d'entre nous, une réalité éditoriale, indissociable de notre expérience concrète : ils circonscrivent des territoires (le rayon « poésie » d'une...
ALLÉGORIE, notion d'
- Écrit par François TRÉMOLIÈRES
- 1 455 mots
Une première conception de l'allégorie provient de la rhétorique (Cicéron, Quintilien) : elle définit comme une « métaphore continuée » cette manière de parler qui désigne une chose par une autre (du grec allos, « autre », et agoreuein, « parler en public »). La métaphore...
ARTS POÉTIQUES, notion de
- Écrit par Filippo D' ANGELO
- 1 333 mots
On désigne par l'expression « art poétique » les textes qui élaborent une doctrine à la fois descriptive et prescriptive de la création littéraire. L'adjectif « poétique » ne renvoie donc pas ici au genre de la poésie lyrique, comme sa signification courante pourrait...
DÉBAT, genre littéraire
- Écrit par Véronique KLAUBER
- 347 mots
Le terme générique « débat » correspond à une série de genres poétiques dialogués que les trouvères et les troubadours cultivaient depuis le début du xii^e siècle : d'abord en latin, sous le nom de disputatio, puis en langue vulgaire ; il est appelé tenson ou jocpartit...
DESCRIPTION, notion de
- Écrit par Elsa MARPEAU
- 985 mots
La description permet de donner à voir en imagination, grâce au langage. Elle constitue une pause, un contretemps dans le flux du récit. Sa finalité représentative semble ainsi l'opposer aux visées narratives de ce dernier. Toutefois, cette distinction théorique est plus complexe dans la pratique,...
DIALOGUE
- Écrit par Françoise ARMENGAUD et Robert MISRAHI
- 4 423 mots
- 1 média
L'entrée en dialogue paraît d'autant plus désirable que le partenaire est plus différent ou plus lointain. Le dialogue répond à une préoccupation éthique – il serait l'antiviolence par excellence – et à un souci politique : comment améliorer la circulation de l'information de manière...
DIDACTIQUE POÉSIE
- Écrit par Bernard CROQUETTE
- 531 mots
Poésie qui dispense un enseignement (philosophique, moral, scientifique, technique, etc.) en le parant des agréments propres à la poésie. Le vers, de par ses vertus mnémoniques, a été utilisé dès les origines pour fixer une leçon (oracles, sentences...) ; aux débuts de la littérature grecque, il...
ÉPOPÉE, notion d'
- Écrit par François TRÉMOLIÈRES
- 1 628 mots
Dans la tradition classique, l'épopée, long poème narratif consacré à glorifier un héros par le récit de ses actions, est considérée comme le grand genre poétique. Les œuvres majeures de la littérature grecque et latine sont des épopées, qui vont devenir le prototype du genre : ...
FABLE
- Écrit par Marc SORIANO
- 3 260 mots
La fable n'est-elle vraiment – comme le veut la définition traditionnelle – qu'un bref récit mettant en scène des animaux ? Mais Le Chat botté et Le Petit Chaperon rouge, où l'on voit intervenir des bêtes, sont appelés contes et non fables. Comment oublier aussi qu'au ...
PARODIE, art et littérature
- Écrit par Guy BELZANE
- 1 229 mots
Exercice de virtuosité en même temps que démonstration de liberté, condamnée à dépendre de l'original qu'elle détourne, et, comme la satire, prisonnière du contexte et victime du temps, la parodie constitue une approche instructive des œuvres, des styles et des genres qu'elle rabaisse...
SATIRE
- Écrit par Roger ZUBER
- 2 693 mots
- 1 média
Il ne s'agira dans cet article que de la satire littéraire. Or, même littéraire, la satire est une des formes les plus difficiles à cerner. Où la tragédie et la comédie, voire le roman, offrent l'appui, même incertain, d'une formule consacrée, et semblent occuper un domaine délimité, la satire...
TRAGÉDIE
- Écrit par Bernard DORT , Jacques MOREL et Jean-Pierre VERNANT
- 5 376 mots
- 2 médias
La tragédie naît en Grèce au vi^e siècle avant J.-C., mais c'est à Athènes, au cours du v^e siècle, qu'elle trouve sa forme littéraire achevée. Les œuvres tragiques qui nous sont parvenues et que les Grecs nous ont transmises parce qu'ils les jugeaient dignes d'être conservées (trente-deux...
ILIADE, Homère - Fiche de lecture
- Écrit par Jean-François PÉPIN
- 974 mots
- 1 média
Au milieu du viii^e siècle avant J.-C., un poète grec venu d'Asie Mineure, Homère, aurait composé en hexamètres dactyliques deux magistrales épopées, l'Iliade et l'Odyssée, mais le mystère entoure encore aujourd'hui ces deux textes : Homère a-t-il réellement existé ? A-t-il...
CONFESSIONS, Augustin - Fiche de lecture
- Écrit par Bernard SESÉ
- 944 mots
Les Confessions, ouvrage de saint Augustin (354-430) le plus célèbre avec La Cité de Dieu, furent rédigées de 397 à 401. L'auteur s'adresse directement, dans un dialogue intime, à ce Dieu qu'il avait tant cherché « en labeur et fièvre » ailleurs que là où le Dieu d'amour l'attendait,...
DE L'ORATEUR, Cicéron - Fiche de lecture
- Écrit par François TRÉMOLIÈRES
- 729 mots
Tribun et magistrat romain, Cicéron (106-43 av. J.-C.) s'est fait le théoricien de l'éloquence, principalement dans le De Oratore (55 av. J.-C.), somme de l'art oratoire en trois livres, reçue depuis la Renaissance comme le meilleur témoin de l'humanisme antique. Sur le même sujet,...
DIALOGUE DES ORATEURS, Tacite - Fiche de lecture
- Écrit par François TRÉMOLIÈRES
- 763 mots
Le Dialogue des orateurs (Dialogus de Oratoribus, vers 105 apr. J.-C.), dont on considère aujourd'hui que l'auteur est très probablement Tacite (vers 55-vers 120), fait délibérément écho, à un siècle et demi de distance, au grand traité latin de Cicéron, le De Oratore : même sujet...
Afficher les 29 références