DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique
Problèmes d'évolution
Généralités
On peut toujours formuler ces problèmes de la manière suivante : Trouver une fonction u vérifiant :
On peut, en particulier, mettre sous cette forme le problème de Cauchy pour l'équation des ondes :
Les procédés d'approximation des problèmes aux limites ci-dessus reviennent tous à remplacer A par un opérateur approché Ah. On est ainsi ramené au problème aux valeurs initiales pour le système différentiel ordinaire :
Toutefois, ces systèmes présentent des particularités. Ils sont compliqués et à un grand nombre de dimensions, ce qui rend malaisé l'emploi de méthodes sophistiquées ; en fait même illusoire, du fait que le système lui-même n'est qu'une approximation.
Mais surtout, il ne faut pas oublier que h est un paramètre « destiné à tendre vers zéro ». Ce point est source de difficultés que nous nous proposons de préciser maintenant.
Instabilité de discrétisations linéaires
Considérons encore un problème très simple, que l'on peut d'ailleurs résoudre plus efficacement par développement en série trigonométrique.
Une plaque d'un matériau homogène est plongée dans l'eau bouillante jusqu'à obtention partout de la température 1000, puis, à l'instant t = 0 dans de la glace fondante. La température u ne dépend donc que du temps et de la variable d'espace transversale à la plaque. Avec des unités de longueur et de temps adaptées, ce problème satisfait aux équations suivantes :
Approchons ce problème en divisant l'intervalle [0, 1] en N sous-intervalles égaux et en appliquant la méthode des différences finies par rapport à la variable d'espace et la méthode d' Euler, de pas τ, par rapport au temps. Désignant par uj,k la solution approchée au point (jτ, k/N), on obtient le système suivant :
Solution approchée pour N = 10
Encyclopædia Universalis France
Prenons d'abord τ = 0,004 et N = 10. Au bout de dix pas de temps (t = 0,04), la solution approchée est donnée par le tableau : elle est exacte à 10 près, malgré la rusticité de l'approximation et la discontinuité dans la donnée initiale.
Solution approchée pour N = 20
Encyclopædia Universalis France
Dans l'espoir d'améliorer encore cette précision, faisons maintenant N = 20 ; on trouve alors le tableau, sur lequel on a reporté les résultats partiels des trois derniers pas de temps. Trois constatations s'imposent à l'examen de ces résultats :
– la « solution approchée » obtenue ne présente aucune ressemblance avec la solution exacte ;
– elle est très grande en valeur absolue, et de plus en plus quand la variable t augmente (instabilité) ;
– elle oscille, tant en x qu'en t.
Un retour sur le système (10) conduit à incriminer le facteur τN2 qui est passé de 0,4 à 1,6 quand on a doublé N.
La méthode d'Euler appliquée au système (8) donne :
Ce phénomène ne se présente pas si, au lieu de la méthode d'Euler, on emploie le schéma implicite[...]
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Écrit par
- Claude BARDOS : mathématicien, professeur à l'université de Paris-Nord
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
Classification
Médias
Méthode des éléments finis
Encyclopædia Universalis France
Solution approchée pour N = 10
Encyclopædia Universalis France
Solution approchée pour N = 20
Encyclopædia Universalis France
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