Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Analyse numérique des problèmes hyperboliques

On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes : a) vitesse finie de propagation ; b) propagation des singularités dans le cas linéaire ; c) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements.

Les méthodes numériques relatives à ces problèmes doivent prendre en compte ces propriétés. Le fait, en particulier, que la solution se propage a conduit à privilégier les méthodes de différences finies par rapport aux méthodes d'éléments finis, car on suit plus facilement l'évolution de la solution en parcourant, selon sa propagation, les points du maillage. Il n'existe encore aucun résultat systématique à plus d'une dimension d'espace ; on se limitera donc à des problèmes de la forme :

ou
complétés par la donnée initiale u(x, 0) = u0(x).

Dans (11) et (12), u est un vecteur ; dans (11), A est une matrice à valeurs propres réelles et distinctes. Le système (12) est un système hyperbolique (cf. chap. 1 in équations aux dérivées partielles - Équations aux dérivées partielles non linéaires).

Désignons par h et τ deux paramètres destinés à tendre vers zéro, et soit uni, i ∈ Z et n ∈ N une approximation de la solution au point (ih, nτ). On remplace la dérivée par rapport au temps par l'expression :

et la dérivée A(∂u/∂x), ou (∂/∂x) (F(u)), par une expression de la forme :

Par exemple, on peut remplacer (∂/∂x) (F(u)) par les quantités suivantes :

L'équation approchée s'écrit sous la forme (13) :
qui définit un schéma explicite à (2r + 1) points.

Pour simplifier, nous nous limiterons à un schéma à trois points. Dans ce cas, on obtient, aussi bien pour la solution de (11) que pour celle de (12), une expression de la forme :

La fonction G devra être choisie de telle sorte que la méthode soit stable, consistante, et, dans le cas non linéaire, conduise à une solution respectant la condition d' entropie. Si ces trois conditions, que nous allons expliciter et commenter, sont remplies, on peut, dans certains cas (il reste encore beaucoup de problèmes mathématiques ouverts), prouver la convergence de la solution approchée vers la solution de (11) ou (12).

Instabilité - crédits : Encyclopædia Universalis France

Instabilité

Encyclopædia Universalis France

La stabilité signifie que la suite (uni) est bornée, pour une norme convenable, indépendamment de h et de τ. La consistance signifie que (14) ressemble bien à l'équation initiale ; elle se vérifie en montrant que, pour toute solution régulière u(x, t ) de l'équation initiale, on a :

où α et β désignent les ordres de la méthode. La condition d'entropie a été discutée au chapitre Équations aux dérivées partielles non linéaires. La différence entre la notion de stabilité et celle de consistance apparaît très bien sur la discrétisation de l'équation :
Les schémas :
sont tous deux consistants d'ordre 1 en h et τ ; par contre, le schéma (15) ne peut convenir. En effet, on détermine uin+1 à partir de uni et uni+1 et donc finalement en fonction de la donnée initiale sur l'intervalle[ih, (i + n)h], ce qui est en contradiction avec la formule explicite :
.

Puisque le schéma (15) ne convient pas, c'est qu'il présente des défauts de stabilité, que nous allons mettre en évidence en prenant une donnée initiale égale à 0 pour x ≤ 0 et à 1 pour x > 0.

Le schéma (15) donne alors :

ce qui est complètement différent de la solution exacte pour aτn ≥ ih, mais borné, et :
On voit que, si le rapport τ/h est fixé, un0 tend toujours vers − ∞ avec n. Un raisonnement simple d'analyse fonctionnelle permet de déduire de cet exemple l'existence de l'instabilité avec des données initiales régulières. On notera que, dans ce schéma, uni est déterminé par les[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Médias

Méthode des éléments finis - crédits : Encyclopædia Universalis France

Méthode des éléments finis

Encyclopædia Universalis France

Solution approchée pour N = 10 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solution approchée pour N = 10

Encyclopædia Universalis France

Solution approchée pour N = 20 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solution approchée pour N = 20

Encyclopædia Universalis France

Afficher les 7 médias de l'article DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 528 mots
    ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.

  • CAFFARELLI LUIS (1948- )

    • Écrit par
    • 1 254 mots
    • 1 média
    Luis  Caffarelli - crédits : Nolan Zunk/ The University of Austin Texas

    Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...

  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par
    • 1 402 mots
    • 1 média
    ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...
  • Afficher les 34 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter