DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires
Les équations de réaction-diffusion
On a vu au chapitre 2 que l'étude du comportement asymptotique des solutions de l'équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n'est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l'on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction- diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d'équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n'aura, en général, qu'un nombre fini d' ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes ; on s'appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques.
Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s'écrivent sous la forme :
Ces équations interviennent dans la description de phénomènes non linéaires dans lesquels la dépendance en espace introduit une évolution de type mouvement brownien. On les rencontre dans la modélisation des réactions chimiques, et, en particulier, dans les phénomènes de combustion, lorsque la vitesse de propagation de la flamme est assez lente par rapport à la cinétique chimique, contrairement au régime de détonation qui, lui, relève des systèmes hyperboliques décrits dans le chapitre 1. On les rencontre aussi dans l'analyse des facteurs intervenant dans la propagation de l'influx nerveux et dans la dynamique des populations.
Les théorèmes d'existence globale, et certains résultats asymptotiques, reposent sur la notion de région invariante, que l'on va décrire sur un exemple simple. Supposons, pour simplifier, que Ω = R ; on considère des solutions u(x, t ) qui tendent vers des limites finies u+ et u- lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. On dira qu'une région Q de Rm (contenant u+ et u-) est invariante si l'appartenance u0(x) ∈ Q pour tout x réel entraîne, pour t > 0 (éventuellement petit), la relation u(x, t ) ∈ Q. La notion de région invariante conduit à étudier, pour t fixé, le comportement des courbes x ↦ u(x, t ) dans Rm. C'est la généralisation aux équations aux dérivées partielles de l'analyse faite, pour les équations différentielles ordinaires, à l'aide du plan des phases. On a par exemple le théorème suivant :
Supposons que D(u) est une matrice diagonale. Alors, tout cube :
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Écrit par
- Claude BARDOS : mathématicien, professeur à l'université de Paris-Nord
Classification
Médias
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