DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.
Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées partielles dépendent de fonctions arbitraires ; il y a donc des familles beaucoup plus riches de solutions. Ce fait se voit sur l'exemple particulièrement simple d'une équation linéaire du premier ordre :
La façon la plus courante de déterminer une solution, en particulier dans les problèmes d'origine physique, est de fixer les valeurs de la fonction et d'une ou plusieurs de ses dérivées sur des hypersurfaces. On dit que le problème est bien posé lorsque cela détermine une solution et une seule. Pour traduire une situation physique, un problème doit non seulement être bien posé au sens précédent, mais posséder en plus une propriété de stabilité : la solution doit dépendre continûment des données (en un sens à préciser dans chaque problème particulier). Cette condition est automatiquement vérifiée dans les problèmes linéaires (c'est une conséquence du théorème du graphe fermé).
Il est remarquable, ce qui sera évident ci-dessous, que les premiers travaux systématiques ont porté sur des équations du second ordre, qui se sont présentées en mécanique, puis dans la théorie de la chaleur. L'étude des équations du premier ordre, la plus simple du point de vue mathématique, n'est venue que plus tard.
L'équation des ondes et le type hyperbolique
L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :
La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :
a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (t > t0) que dans le passé (t < t0). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :
Équation des formes vibrantes
Encyclopædia Universalis France
b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t0 nul pour simplifier, si u0 et u1 s'annulent en dehors d'un intervalle[[...]
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Écrit par
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
Classification
Média
Équation des formes vibrantes
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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