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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Problèmes de régularité

On a déjà signalé que si P est un opérateur elliptique à coefficients analytiques et u une distribution vérifiant l'équation (2), u est analytique sur tout ouvert où f l'est. De plus, cette propriété caractérise les opérateurs elliptiques.

On dit que l'opérateur P est hypoelliptique si toute u vérifiant (2) est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où le second membre f est indéfiniment différentiable.

Dans sa thèse, Hörmander a donné la caractérisation suivante des opérateurs hypoelliptiques à coefficients constants :

Pour tout α différent de 0 on a :

La dérivée est évidemment prise par rapport à ξ : c'est la seule variable dont dépend P puisque les coefficients sont constants. L'intervention de ces dérivées est assez naturelle du fait qu'on cherche à localiser les propriétés de u en multipliant cette distribution par une fonction indéfiniment différentiable à support borné. On utilise alors la généralisation de la formule de Leibniz, valable pour tout opérateur différentiel linéaire :
où β ! désigne le produit des factorielles de βi.

Pour les opérateurs à coefficients variables (indéfiniment différentiables), on ne connaît que des conditions suffisantes d'hypoellipticité. Une de ces conditions s'exprime sur les opérateurs « à coefficients gelés », c'est-à-dire les opérateurs à coefficients constants obtenus, pour chaque point y, en remplaçant les coefficients variables b par leur valeur b(y) désormais fixée. La condition est que chacun de ces opérateurs soit hypoelliptique et qu'ils aient tous le même domaine dans L2. Une faiblesse de cette condition (obtenue à peu près simultanément par Hörmander et Malgrange) est qu'elle n'est pas conservée par les changements de coordonnées, comme le montre l'exemple de l 'équation de la chaleur.

Par la suite, Hörmander a étudié les opérateurs de la forme :

où c est une fonction indéfiniment différentiable et X0, X1, ..., Xk des opérateurs d'ordre un sans terme d'ordre zéro : chacun de ces opérateurs est donc défini par un champ de vecteurs (cf. équations aux dérivées partielles - Sources et applications). Désignons par [Xj, Xl]le commutant XkXl − XlXk ; c'est encore un opérateur de la même nature et le champ de vecteurs qui lui correspond est le crochet des deux autres champs de vecteurs au sens de la géométrie différentielle. Nous noterons désormais de la même façon opérateurs du premier ordre et champs de vecteurs. Appelons encore Ξ le plus petit espace vectoriel stable par le crochet auquel X0, X1, ..., Xk appartiennent et r(y) la dimension de l'espace vectoriel formé par les valeurs au point y des champs appartenant à Ξ. Cet entier r(y) prend son maximum m sur un ouvert non vide. Si m est strictement plus petit que la dimension n + 1 de l'espace, l'opérateur P n'est pas hypoelliptique. En effet, d'après le théorème de Frobenius, on peut trouver un système de coordonnées locales dans lequel P ne contient pas de dérivations par rapport à certaines des variables. Hörmander démontre une réciproque partielle : si on a partout r(y) = n + 1, alors P est hypoelliptique.

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