DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Solutions élémentaires et paramétrix

On dit qu'une distribution de deux variables E est un noyau élémentaire de P si elle vérifie la relation :

qui entraîne, du moins pour f à support compact, que la distribution :

vérifie l'équation (2), d'où la précision noyau élémentaire à droite qu'il est prudent d'apporter, sauf, comme nous le verrons, dans le cas des équations à coefficients constants.

Nous avons déjà rencontré un tel noyau (cf. chap. 3 L'équation de la chaleur et le type parabolique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications, à propos du mouvement brownien). En effet les formules (20) et (21) de cet article montrent que le noyau :

où θ(t ) = 1 pour t positif et 0 sinon, est un noyau élémentaire pour l'opérateur de la chaleur ∂/(∂t) − Δ_x.

Le plus ancien exemple de noyau élémentaire connu est sans aucun doute celui du potentiel coulombien − 1/4π∥y − z∥, noyau élémentaire de l'opérateur de Laplace en dimension 3.

Opérateurs à coefficients constants et convolution

Un opérateur différentiel à coefficients constants est un opérateur de convolution puisqu'il commute avec les translations. Plus précisément :

Les noyaux élémentaires les plus commodes s'écrivent alors eux aussi comme noyaux de convolution E(y − z), où E, qui ne dépend plus que d'une variable dans Rⁿ⁺¹, est une solution élémentaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie :

L'utilisation systématique de ce point de vue est un des traits caractéristiques du développement qu'a connu l'étude des équations aux dérivées partielles dans les années 1950 sous l'impulsion de la théorie des distributions. En particulier, Malgrange a démontré en 1953 que tout opérateur différentiel à coefficients constants non nul avait une solution élémentaire.

Solution élémentaire et hypoellipticité

Si P est un opérateur à coefficients constants hypoelliptique, ses solutions élémentaires doivent évidemment être indéfiniment différentiables en dehors de l'origine. Mais la réciproque est aussi vraie comme on va le voir. Il faut savoir que si T est une distribution indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, alors, pour toute distribution f, le produit de convolution T _* f est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où f l'est, pourvu qu'une au moins de ces deux distributions soit à support compact. Supposons donc que P ait une solution élémentaire E indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, et soit ϕ une fonction indéfiniment différentiable à support compact qui vaut 1 sur un voisinage de l'origine. Posons :

Il est facile de s'assurer que :

où ψ est indéfiniment différentiable à support compact. On a donc :

la deuxième égalité à cause de l'associativité, et la commutativité du produit de convolution assurées du fait que u est le seul des trois facteurs à ne pas avoir un support compact. Comme ψ _* u est indéfiniment différentiable, on voit que u est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où f est indéfiniment différentiable.

La distribution F utilisée dans cette démonstration est ce qu'on appelle une paramétrix. Le terme n'a pas de définition mathématique précise et universellement admise. Il signifie que PF est la distribution de Dirac plus « quelque chose de pas méchant », cette dernière expression désignant en général une fonction assez régulière.

Le résultat que nous venons de donner et sa démonstration s'étendent aux opérateurs à coefficients variables moyennant des complications techniques assez sérieuses.

Solution élémentaire et hyperbolicité

On se souvient que la formulation du problème de Cauchy en théorie des distributions amène à étudier l'équation aux dérivées partielles en supposant que second membre et solution ont leur support[...]

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Écrit par

Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice

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