DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Opérateurs à coefficients constants et convolution

Un opérateur différentiel à coefficients constants est un opérateur de convolution puisqu'il commute avec les translations. Plus précisément :

Les noyaux élémentaires les plus commodes s'écrivent alors eux aussi comme noyaux de convolution E(y − z), où E, qui ne dépend plus que d'une variable dans Rⁿ⁺¹, est une solution élémentaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie :

L'utilisation systématique de ce point de vue est un des traits caractéristiques du développement qu'a connu l'étude des équations aux dérivées partielles dans les années 1950 sous l'impulsion de la théorie des distributions. En particulier, Malgrange a démontré en 1953 que tout opérateur différentiel à coefficients constants non nul avait une solution élémentaire.

Solution élémentaire et hypoellipticité

Si P est un opérateur à coefficients constants hypoelliptique, ses solutions élémentaires doivent évidemment être indéfiniment différentiables en dehors de l'origine. Mais la réciproque est aussi vraie comme on va le voir. Il faut savoir que si T est une distribution indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, alors, pour toute distribution f, le produit de convolution T _* f est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où f l'est, pourvu qu'une au moins de ces deux distributions soit à support compact. Supposons donc que P ait une solution élémentaire E indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, et soit ϕ une fonction indéfiniment différentiable à support compact qui vaut 1 sur un voisinage de l'origine. Posons :

Il est facile de s'assurer que :

La distribution F utilisée dans cette démonstration est ce qu'on appelle une paramétrix. Le terme n'a pas de définition mathématique précise et universellement admise. Il signifie que PF est la distribution de Dirac plus « quelque chose de pas méchant », cette dernière expression désignant en général une fonction assez régulière.

Le résultat que nous venons de donner et sa démonstration s'étendent aux opérateurs à coefficients variables moyennant des complications techniques assez sérieuses.

Solution élémentaire et hyperbolicité

On se souvient que la formulation du problème de Cauchy en théorie des distributions amène à étudier l'équation aux dérivées partielles en supposant que second membre et solution ont leur support dans le « futur » (c'est-à-dire le demi-espace t ≥ 0). Si P est hyperbolique, il faut en particulier (puisque le second membre peut être la distribution de Dirac) qu'il existe une solution élémentaire dont le support est contenu dans ledit futur (dans le cas des coefficients variables, un noyau élémentaire dont le support est contenu dans l'ensemble des couples (y, z) tels que y soit dans le futur de z).

Inversement, supposons que l'hyperplan t = 0 soit non caractéristique et qu'il existe une solution élémentaire E à support dans le futur. Supposons aussi, mais uniquement pour simplifier, que P soit à coefficients constants. Le théorème de Holmgren assure alors que l'hyperplan t = 0 n'a que l'origine en commun avec le support de E. Il y a plus : l'intersection de ce support avec tout hyperplan t = C^te est un compact. Il en résulte que le produit de convolution E _* T est défini pour toute distribution à support dans le futur. Il résout le problème de Cauchy et par conséquent P est hyperbolique.

C'est la construction de solutions élémentaires qui a permis la démonstration d'existence dans le problème de Cauchy pour les opérateurs hyperboliques du second ordre à coefficients variables, quelques dizaines d'années avant que la théorie des distributions vienne fournir le cadre général dans lequel cette méthode s'insère aujourd'hui.

Solution élémentaire et répartition asymptotique de valeurs propres

Soit A un opérateur elliptique du second ordre ; pour étudier le problème de Dirichlet, restreignons-le aux fonctions qui s'annulent sur la frontière d'un ouvert borné Ω ; on obtient ainsi un opérateur auto-adjoint dans L²(Ω) et cet opérateur est anticompact, c'est-à-dire que si un nombre λ n'est pas valeur propre de A, alors (A − λI)^-1 est un opérateur compact. Supposons-le inversible pour simplifier. Un noyau élémentaire, qui résout le problème de Dirichlet, est alors donné par la formule :

Pour avoir une idée de la difficulté de ce problème, on peut considérer le cas très simple où A est le laplacien et Ω un carré de côté 1. Les λ_k sont alors les nombres : π²(n²₁ + n²₂), n₁ et n₂ entiers, ce qui nous ramène à un problème célèbre en théorie des nombres, le nombre de points de coordonnées entières contenus dans un cercle de rayon r. Notons N(r) le nombre de valeurs de k telles que :

Il est facile de voir que :

À la suite d'une série de travaux dont les premiers sont dus à Hermann Weyl, la partie principale de N(r) est connue pour des problèmes elliptiques très généraux.

On se rendra compte que l'évaluation du terme en o(r²) dans la formule (8) est un problème très difficile si on sait que, dans ce simple cas particulier, de grands efforts ont été accomplis par les théoriciens des nombres pour obtenir son ordre de grandeur et que pourtant l'exposant de r n'y est pas encore exactement connu.

Un premier outil pour aborder ce problème s'obtient en évaluant la fonction :

Dans un travail paru en 1973, Colin de Verdière a mis ces idées en œuvre dans un contexte légèrement différent : A est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété riemannienne compacte X. Une construction par approximations successives de U lui permet de montrer que l'existence de géodésiques fermées et leur longueur influent sur le comportement asymptotique des valeurs propres.

Immédiatement après, Chazarain, d'une part, et Duistermat et Guillemin, d'autre part, ont obtenu des résultats analogues par une méthode légèrement différente dans laquelle la cause de l'intervention des géodésiques fermées est plus apparente. Elle s'obtient en complétant N par antisymétrie (N(− r) = − N(r)) et en prenant la transformée de Fourier de sa dérivée :

Si on se rappelle ce qui a été expliqué (cf. chap. 1 L'équation des ondes et le type hyperbolique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications, au sujet des bicaractéristiques), on ne s'étonnera pas des deux résultats suivants :

– les bicaractéristiques de P s'obtiennent en parcourant à une vitesse unité les géodésiques de X ;

– les singularités de V_t se propagent selon ces bicaractéristiques.

En particulier, si X possède une géodésique fermée de longueur L, on va voir revenir une singularité dans V_t avec une période L. Ce type de résultats a été étendu par la suite, en particulier au problème de Dirichlet. Le rôle des géodésiques fermées est alors joué par les lignes polygonales qui se referment par réflexion sur la frontière. On en déduit (pas directement !) que les singularités de T sont des points de la forme k L. Ce qui se traduit enfin sur le comportement asymptotique de N en vertu d'un des aspects de la dualité régularité locale-décroissance à l'infini dans la transformation de Fourier.