DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
La transformation de Fourier et ses généralisations
Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :
Il en résulte que :
Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse F définie par :
Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.
La dualité régularité locale-décroissance à l'infini
La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.
Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H1(Rn) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace Hs(Rn) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2)s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à Hs, et cette restriction appartient à Hs−1/2 ; de plus, toute fonction appartenant à Hs−1/2 de l'hyperplan est restriction d'une fonction appartenant à Hs de l'espace ambiant.
Un cas extrême de décroissance à l'infini est donné par un support compact. Il lui correspond du côté Fourier une propriété d'analyticité : une distribution est à support compact si et seulement si sa transformée de Fourier se prolonge en une fonction analytique sur Cn tout entier à croissance exponentielle à l'infini (théorème de Paley Wiener généralisé). Il est bon de remarquer ici que la croissance exponentielle à l'infini de l'extension à Cn apparaît en même temps comme une propriété locale de la fonction puisqu'on peut la caractériser sur la suite des dérivées en un point via le développement de Taylor.
Propriétés des solutions élémentaires
Tout polynôme non nul possède un inverse multiplicatif qui est une distribution tempérée. Par transformation de Fourier, cela revient à dire que tout opérateur différentiel à coefficients constants possède une solution élémentaire tempérée.
Voyons d'abord comment ce résultat permet de démontrer l'hypoellipticité des opérateurs elliptiques. Soit P un tel opérateur. L'ellipticité signifie que la partie principale Pm(ξ) n'a pas de zéro réel non nul et, par homogénéité, il en est de même de Pm(iξ). Soit E une solution élémentaire tempérée. On a pour tout α :
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Écrit par
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
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