DIÉLECTRIQUES

Modèle de Debye

On applique, à l'instant t = 0, sur le matériau électrique un champ électrique E, dont le temps d'établissement θ est supposé court par rapport aux phénomènes de relaxation envisagés, mais pas assez court pour que les très faibles retards causés par l'inertie des particules résonantes (électrons ou atomes) doivent être pris en considération (θ > 10^-10 s.). En d'autres termes, on suppose qu'à tout instant la polarisation est la somme d'une composante P_res = P₄, correspondant aux phénomènes de résonance qui apparaissent en moins de 10^-10 seconde après l'application du champ, et d'une composante P′ retardée, correspondant aux phénomènes de relaxation dipolaire jusqu'à 10^-4 seconde :

Immédiatement après l'application du champ, on a P(0⁺) = P₄. Puis P augmente régulièrement jusqu'à une valeur asymptotique P(∞) = P₅ (les indices 4 et 5 sont relatifs aux points 4 et 5 de la ).

Supposons que le taux d'augmentation de P′ soit proportionnel à la différence entre sa valeur limite P′(∞) = P₅ − P₄ et la valeur instantanée P′(t) :

On voit que la polarisation résultant d'un échelon de tension appliquée varie exponentiellement de P₄ à P₅, avec la constante de temps τ. Pour la relaxation considérée l'indice 5 correspondant aux « basses fréquences » est souvent remplacé par l'indice s (statique), et l'indice 4 par l'indice ∞ (pour fréquence infinie).

Soumettons maintenant le matériau à un champ alternatif de pulsation ω. P₄ change de signe au début de chaque alternance. Nous nous intéresserons à la solution permanente de l'équation (33) en régime sinusoïdal, et nous admettons donc que P′ varie sinusoïdalement à la pulsation ω du champ appliqué.

En remplaçant P′ par une fonction de la forme P′₀ exp jω t dans (33), on trouve :

Notons que le trop bref passage du régime en échelon au régime harmonique peut se justifier rigoureusement à l'aide de la théorie de la réponse indicielle.

En utilisant la relation entre P et E on peut mettre la permittivité complexe sous la forme :

En régime sinusoïdal, la relaxation dipolaire se manifeste par un retard entre le champ appliqué et la polarisation. Ce retard est lié aux perturbations exercées par les molécules en agitation thermique, qui freinent l'orientation (ou la désorientation) des dipôles, ou l'accumulation de charges, dans un champ appliqué. Ces phénomènes sont irréversibles et correspondent à une dissipation d'énergie.

Représentations graphiques

On peut représenter séparément les composantes ε′ et ε″ de ̱ε en fonction de ω. On obtient pour ε′(ω) une courbe analogue à celle qui joint les points 4 et 5 de la figure. Quant à ε″(ω), il est proportionnel à la dérivée de ε′(ω) (courbe en cloche).

Afin de préciser la nature d'un phénomène dispersif, il est particulièrement intéressant d'utiliser le diagramme ε″ (ε′) (diagramme d'Argand). Un simple recours à l'inversion géométrique montre que le diagramme d'Argand de la relation de Debye est un demi-cercle centré en (ε_s + ε_∞)/2 sur l'axe ε′. C'est le demi-cercle de Cole.

Par suite, si les points expérimentaux sont répartis sur un demi-cercle de Cole, le mécanisme de dispersion est une relaxation dipolaire de type Debye, et le temps de relaxation est donné par l'inverse de la pulsation correspondant au sommet du demi-cercle.

Distribution de temps de relaxation

Une relaxation dipolaire de Debye est obtenue avec de nombreux liquides diélectriques, en particulier les alcools (Davidson et Cole, 1951), mais la plupart des spectres qui leur correspondent ne sont pas exactement conformes à la théorie de Debye ; ils sont en général intérieurs au demi-cercle de Cole. Cette différence a été interprétée comme une conséquence de l'existence, dans un diélectrique condensé, de plusieurs types de dipôles et, pour chaque type, de plusieurs mouvements possibles et de plusieurs configurations : il existe alors, non pas un seul, mais tout un ensemble de temps de relaxation. On est même conduit à admettre que chaque entité dipolaire a, à un instant donné, un temps de relaxation différent de celui des entités voisines, de sorte que si l'on considère un grand nombre de dipôles, on est conduit à la notion de distribution de temps de relaxation. Si la proportion des dipôles dont le temps de relaxation compris entre τ et τ + dτ est f(τ) dτ, f(τ) est la fonction de distribution (normalisée) du temps de relaxation.

À une fonction de distribution donnée (τ), on peut associer une permittivité :

Se fondant sur l'observation que le diagramme d'Argand (ε″, ε′) est souvent un arc de cercle aplati, donc centré au-dessous de l'axe ε′, K. S. Cole et R. H. Cole ont proposé, pour interpréter ce spectre, une formule de Debye modifiée :

Pour h = 0, on retrouve la relation de Debye.

Pour 0 ≤ h ≤ 1, le diagramme est bien un arc de cercle centré au-dessous de l'axe ε′, et la distribution f (τ) correspondante a été calculée.

Davidson et Cole ont effectué un travail analogue pour un diagramme en forme de demi-poire, incliné sur l'axe à ε_∞, mais perpendiculaire à ε_s, tel qu'on l'observe souvent expérimentalement. Ces travaux sont fondamentaux, mais leur aspect macroscopique les rend peu exploitables.

Depuis les développements de la mécanique statistique, et en particulier des travaux de R. Kubo, l'étude de la relaxation diélectrique en phase liquide a été entreprise à une échelle microscopique, et les travaux de S. H. Glarum ont ouvert une voie nouvelle vers l'interprétation des structures dipolaires en interaction. D'autre part, l'existence d'absorptions anormales a pu être attribuée aux effets d'inertie, qui peuvent devenir importants en haute fréquence. Notons enfin que des chercheurs de plusieurs universités françaises contribuent brillamment au développement de ces théories.