DIOPHANTE D'ALEXANDRIE

Les « Arithmétiques »

Telles qu'elles se présentent maintenant, les Arithmétiques comprennent au moins dix livres, dans l'ordre suivant : les trois premiers livres grecs, immédiatement suivis, et dans l'ordre, par les quatre livres retrouvés de la version arabe. Viennent ensuite les livres IV et V du texte grec, dont l'organisation appelle un examen approfondi, en cours, et enfin, le livre VI du texte grec, sur les triangles rectangles numériques.

Ainsi, des treize livres qu'aux dires de Diophante comportaient les Arithmétiques, nous en possédons actuellement au moins dix, et non plus seulement six. Et les livres retrouvés dans leur version arabe ne modifient pas seulement l'organisation des Arithmétiques, mais aussi leur extension ainsi que leur compréhension.

L'objet des « Arithmétiques »

Quel est, au juste, l'objet de Diophante dans les Arithmétiques ? Les réponses à cette question se présentent comme un conflit d'interprétations, dont les origines remontent déjà aux mathématiciens arabes du x^e siècle ; de la logistique théorique à la géométrie algébrique, le spectre de l'interprétation de l'œuvre du mathématicien alexandrin est singulièrement étendu. Alors que Tannery hier, Kurt Vogel aujourd'hui voient dans les Arithmétiques une logistique théorique, Nesselmann, Hankel, Heath, naguère, et bien d'autres encore aujourd'hui soutiennent que l'on y trouve bien de l'algèbre. Des mathématiciens contemporains, tels André Weil, Jean Dieudonné, Isabelle G. Bašmakova, croient pouvoir, quant à eux, lire dans les Arithmétiques, sinon en toutes lettres, du moins en filigrane, les concepts et les instruments de la géométrie algébrique ; dans ce cas Diophante ne serait pas seulement le prédécesseur de Fermat, mais de Hilbert, de Hurwitz et de Poincaré, et serait alors l'ancêtre de tous ces chapitres qui portent aujourd'hui son nom – analyse diophantienne, géométrie diophantienne, approximations diophantiennes, équations diophantiennes.

Organisation et nature des « Arithmétiques »

Mais, avant de confronter ces interprétations, décrivons les Arithmétiques. Le but de Diophante y est clair : édifier une théorie mathématique dont les éléments constitutifs seraient les nombres, considérés comme pluralités d'unités, et les parties fractionnaires comme fractions de grandeurs. Ces éléments de la théorie ne sont pas seulement présents « en personne », mais aussi comme espèces des nombres. On peut montrer que cette expression, « espèce » de nombre, recouvre également et indifféremment la puissance d'une pluralité déterminée, et la puissance d'une pluralité quelconque, c'est-à-dire provisoirement indéterminée, mais qui sera, à la fin de la solution du problème, toujours déterminée : il s'agit du nombre « non dit », ἄλογος ἀριθμός. Dans le préambule du premier livre, Diophante définit ces termes, ces puissances, jusqu'à la sixième, et en donne certaines abréviations (et non pas, comme on l'a toujours affirmé, une représentation symbolique). Au quatrième livre – selon le nouvel ordre – il définit la huitième et la neuvième puissance. Notons que la septième puissance n'est jamais mentionnée par Diophante, et que la cinquième n'apparaît jamais dans les énoncés des problèmes des Arithmétiques. Cela nous ramène à cette notion, déjà évoquée, d'« espèce » de nombre. Il faut en effet rappeler que Diophante parle de trois espèces : celle du nombre linéaire, celle du nombre plan, et enfin celle du nombre solide. C'est seulement à propos de ces trois espèces qu'il parle de la nature (ϕύσις) des nombres. Ces espèces engendrent toutes les autres, lesquelles doivent, à la limite, prendre leurs noms. Ainsi, le carré-carré, δυναμοδύναμις, noté[...]

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Écrit par

Roshdi RASHED : directeur de la recherche au C.N.R.S.

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