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DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)

Théorie des nombres

Dirichlet était un des rares mathématiciens de sa génération à connaître à fond les Disquisitiones arithmeticae de Gauss qui ne quittaient jamais sa table de travail et où il a puisé mainte inspiration : il est très souvent revenu aux problèmes de la théorie des formes quadratiques binaires et ternaires, et a généralisé cette théorie aux formes sur l'anneau des entiers de Gauss ; il a donné d'ingénieuses méthodes pour démontrer les évaluations asymptotiques de diverses fonctions arithmétiques (par exemple la moyenne du nombre de diviseurs des n premiers nombres entiers) indiquées sans démonstration par Gauss ; et parmi ses premiers travaux (publiés dès sa vingt et unième année) figure une démonstration de l'impossibilité en nombres entiers de l'équation x5 + y5 = z5.

Ses travaux les plus importants dans la théorie des nombres reposent sur deux principes nouveaux, qui sont demeurés jusqu'à nos jours d'une extraordinaire fécondité. Le premier est d'une simplicité déconcertante ; c'est le principe des tiroirs, d'après lequel si n + 1 objets sont arbitrairement répartis dans n casiers, il y aura toujours un de ces derniers qui contiendra deux objets au moins. Si banale que puisse sembler cette remarque, il est merveilleux de voir ce qu'en tire Dirichlet. Par exemple, soit θ un nombre irrationnel, et soit q un entier > 0 ; divisons l'intervalle 0 ≤ t ≤ 1 en q parties égales, et considérons les parties fractionnaires des multiples pθ de θ pour 0 ≤ p ≤ q (c'est-à-dire la différence entre pθ et le plus grand entier qui lui est inférieur). Aucun des nombres pθ n'est entier, et toutes les parties fractionnaires des pθ sont distinctes, puisque θ est irrationnel. Donc, parmi ces q + 1 nombres, il y en a deux au moins qui appartiennent à l'un des q intervalles en lesquels nous avons subdivisé l'intervalle 0 ≤ t ≤ 1. Autrement dit, on a, pour un entier k tel que 0 ≤ k ≤ q − 1 :

pour deux entiers p, p′ tels que 0 ≤ p ≤ q, 0 ≤ p′ ≤ q, r et r′ étant deux entiers. En retranchant, on obtient :
et comme p ≠ p′, on a prouvé l'existence d'un entier h tel que 1 ≤ h ≤ q, vérifiant la relation |hθ − s| < 1/q pour un entier s convenable. On ne savait avant Dirichlet prouver ce théorème que par des considérations assez compliquées sur les fractions continuées . Grâce à cette méthode, appliquée avec une très grande ingéniosité, Dirichlet put faire progresser considérablement la théorie des entiers d'un corps de nombres algébriques en déterminant dans le cas le plus général la structure du groupe des unités de ce corps (c'est-à-dire les entiers du corps dont l'inverse est aussi un entier).

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  • DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

    • Écrit par
    • 4 514 mots
    ...pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second parDirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
    minimum, σ étant donné non entier.

  • DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

    • Écrit par , et
    • 6 121 mots
    • 1 média
    Équation de Pythagore - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Lamé, en 1837, établit le cas n = 7 après que Lejeune-Dirichlet ait démontré, en 1832, l'impossibilité pour n = 14.

  • KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

    • Écrit par
    • 2 105 mots
    • 1 média
    Leopold Kronecker - crédits : Courtesy of Bildarchiv Preussischer Kulturbesitz BPK, Berlin
    ...premier connu après les groupes alternés). C'est lui aussi qui donna la forme générale du théorème d'approximation diophantienne simultanée de plusieurs nombres réels par des formes linéaires à coefficients réels et à variables entières, en étendant le « principe des tiroirs » deDirichlet.

  • KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

    • Écrit par
    • 1 200 mots
    ...élève Leopold Kronecker. Nommé, en 1842, à l'université de Breslau, il y enseigna jusqu'en 1855, date à laquelle il succéda à P. G.  Lejeune-Dirichlet (1805-1859) à l'université de Berlin. Il devint, la même année, membre effectif de l'Académie de Berlin, dont il était membre correspondant...
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