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DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)

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Séries de Dirichlet

Le second principe introduit par Dirichlet est l'usage des séries qui portent son nom, par où il inaugurait la théorie analytique des nombres. Dirichlet part d'une remarque d'Euler, qui avait établi l'identité :

(s > 1), où le produit du second membre est étendu à tous les nombres premiers, et avait conclu du fait que la série du premier membre diverge pour s = 1 une nouvelle démonstration du fait qu'il y a une infinité de nombres premiers. La méthode imaginée par Dirichlet a pour objet de prouver la même conclusion pour ceux des nombres premiers qui appartiennent à une progression arithmétique donnée an + b (a et b entiers premiers entre eux), par l'examen du comportement d'une série analogue au premier membre de (1) lorsque s tend vers 1 ; il n'est pas possible de donner ici plus de détails sur cette technique raffinée, sans commune mesure avec la remarque élémentaire d'Euler, et où s'allient subtilement une aussi grande maîtrise dans le maniement de l'analyse que dans la connaissance approfondie des lois de la théorie des nombres. Un peu plus tard, en comparant par deux procédés (l'un utilisant l'analyse, l'autre la théorie des formes quadratiques) le comportement au voisinage de s = 1 d'une autre série de Dirichlet, il obtenait, pour le nombre des classes des formes quadratiques binaires de discriminant donné, des expressions remarquables que ses prédécesseurs Gauss et Jacobi n'avaient su démontrer que dans des cas particuliers. Plus tard, Kummer, pour les corps de racines de l'unité, et Dedekind, dans le cas général, devaient montrer que la méthode de Dirichlet s'adapte à tous les cas et donne une méthode de calcul direct du nombre de classes d'idéaux d'un corps de nombres algébriques.

— Jean DIEUDONNÉ

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  • DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

    • Écrit par
    • 4 515 mots
    ...pour des entiers ui et w. Ces deux problèmes duals l'un de l'autre sont également délicats. Le premier problème a été étudié initialement par Hermite, le second par Dirichlet. Une variante non homogène du deuxième problème consiste à rendre
    minimum, σ étant donné non entier.

  • DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

    • Écrit par , et
    • 6 124 mots
    • 1 média
    Équation de Pythagore - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Lamé, en 1837, établit le cas n = 7 après que Lejeune-Dirichlet ait démontré, en 1832, l'impossibilité pour n = 14.

  • KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

    • Écrit par
    • 2 105 mots
    • 1 média
    Leopold Kronecker - crédits : Courtesy of Bildarchiv Preussischer Kulturbesitz BPK, Berlin
    ...premier connu après les groupes alternés). C'est lui aussi qui donna la forme générale du théorème d'approximation diophantienne simultanée de plusieurs nombres réels par des formes linéaires à coefficients réels et à variables entières, en étendant le « principe des tiroirs » de Dirichlet.

  • KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

    • Écrit par
    • 1 200 mots
    ...élève Leopold Kronecker. Nommé, en 1842, à l'université de Breslau, il y enseigna jusqu'en 1855, date à laquelle il succéda à P. G.  Lejeune-Dirichlet (1805-1859) à l'université de Berlin. Il devint, la même année, membre effectif de l'Académie de Berlin, dont il était membre correspondant...
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