DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Deux quadratures du cercle

Le plus célèbre problème de géométrie est celui de la quadrature du cercle, qu'on attribue à Anaxagore (500 env.-428 avant J.-C.). Alors qu'il était emprisonné pour avoir soutenu que la Lune ne faisait que refléter la lumière du Soleil, il se serait posé la question de mettre en relation un cercle et un carré de même aire. On peut interpréter l'expression « quadrature du cercle » de deux façons différentes.

La première, que nous appellerons le problème classique de la quadrature du cercle, se formule ainsi : est-il possible de tracer un carré de la même aire qu'un cercle donné en n'utilisant que des constructions de points menées à la règle et au compas ? On sait depuis 1882 qu'il faut répondre non. Résoudre le problème est en effet équivalent à tracer à la règle et au compas un segment de longueur √π à partir de la donnée d'un segment de longueur 1, chose qui ne serait possible que si π était exprimable par radicaux carrés, ce qui implique que π serait solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. Or ce n'est pas le cas, puisque π est un nombre transcendant ainsi que Ferdinand von Lindemann (1852-1939) l'a prouvé en 1882.

La seconde interprétation, que nous appellerons problème de la quadrature du cercle par découpages, est la suivante : est-il possible de découper un cercle (on devrait dire un disque) en un nombre fini de pièces de telle façon qu'en recombinant les pièces un carré de même aire soit obtenu ? (Recombiner signifie déplacer les pièces sans les déformer, c'est-à-dire en leur appliquant uniquement des translations, des rotations ou des symétries.) Ce second problème de la quadrature du cercle, formulé en 1952 par le logicien polonais Alfred Tarski (1902-1983), est resté irrésolu moins longtemps que son ancêtre. Il a en effet reçu récemment une réponse complète en deux volets qui est à la fois étonnante et décevante.