DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Découpages aux ciseaux ou découpages ensemblistes ?

Si l'on impose aux pièces du découpage d'être des formes géométriques limitées par des arcs de courbes régulières (on parle dans ce cas de découpage aux ciseaux), alors Lester E. Dubins, Morris W. Hirsch et Jack I. Karush ont établi en 1963 que la réponse est négative : la quadrature du cercle par découpage aux ciseaux est impossible. Le résultat complet indique même qu'un cercle n'est décomposable aux ciseaux en aucune figure convexe autre que lui-même. (Rappelons qu'une figure F est dite convexe si à chaque fois que deux points A et B sont dans F, alors tout le segment AB est dans F.) Vous ne pourrez donc pas décomposer aux ciseaux un cercle en carrés, triangles, ovales ou polygones réguliers. Cela explique pourquoi les découpages du cercle proposés à la figure 4 aboutissent à des figures trouées (donc non convexes).

En revanche – et c'est le second volet de la réponse au problème de quadrature par découpage de Tarski – si l'on accepte que les pièces soient des sous-ensembles quelconques du disque original, alors la réponse est positive. Cela découle d'un résultat de Miklós Laczkovich (né en 1948) de 1990, qui propose d'ailleurs une recomposition du carré en n'effectuant que des translations à partir des pièces du disque découpé : la quadrature du cercle par découpage ensembliste quelconque est possible et ne demande que des translations. Le résultat de Laczkovich permet aussi d'affirmer que, deux polygones quelconques de même aire étant donnés, on peut découper le premier, déplacer ses pièces en n'effectuant que des translations et les agencer de façon à obtenir le second.