DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

L'étrange géométrie du mathématicien ensembliste

De tels découpages théoriques n'ont pas de traduction physique et aucune figure ne donnera une idée des pièces de Laczkovich qui réalisent la quadrature du cercle. Cela est dû à ce que la preuve de leur existence utilise l'axiome du choix et que les pièces des découpages sont d'une telle complexité (ce sont des nuages discontinus de points) qu'on ne peut pas les représenter. De plus, le « découpage » du disque de Laczkovich donnant le carré comporte plus de 10⁵⁰ pièces !

On sait que l'axiome du choix fut l'objet d'âpres discussions lors de la mise au point de la théorie des ensembles et de son adoption par les mathématiciens du début du xx^e siècle. Rappelons que l'axiome du choix affirme que, si E est un ensemble non vide d'ensembles non vides, alors on peut constituer un nouvel ensemble en choisissant un élément dans chaque ensemble de E : à partir de E = {{a, b}, {e, f}, {g, h}, {i, j}} on obtient par exemple {a, f, h, j}. L'axiome du choix ne crée de difficultés que lorsque E est infini, ce qui est le cas en géométrie. Rares sont les résultats de géométrie qui l'utilisent, mais lorsque c'est le cas, les objets et propositions qu'on en tire sont étranges.

Même si d'un point de vue mathématique le résultat de Laczkovich est parfaitement exact et correctement démontré, on est en droit de s'interroger sur le sens de certains théorèmes tirés de l'axiome du choix, et finalement sur l'irréalité du monde que la théorie des ensembles nous propose pour modéliser les objets géométriques.

Ce n'est pas la première fois que les problèmes de découpages mettent le mathématicien utilisateur de l'axiome du choix dans une position inconfortable : le paradoxe de Banach-Tarski est un autre exemple particulièrement choquant de cette situation. Pour l'expliquer, il nous faut d'abord envisager les découpages dans l'espace.