DISSERTATIONS (B. Riemann)

La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl Friedrich Gauss, Riemann s'inspire de la physique mathématique et de la géométrie pour faire progresser ce qui deviendra la théorie des fonctions analytiques. En 1851, il considère qu'une variable complexe décrit non pas un plan mais plutôt une surface à portions superposées recouvrant ce plan et y définit des points de ramification. Il étudie cette nouvelle « surface de Riemann » et en particulier son ordre de connexion. Il établit la célèbre formule liant l'intégrale double sur une surface à l'intégrale curviligne sur la frontière de cette surface et établit ensuite les principes du prolongement analytique d'une fonction définie sur un sous-ensemble des complexes. Dans sa thèse de 1854, Sur les hypothèses qui fondent la géométrie, Riemann énumère les conditions pour qu'une fonction admette une intégrale et il définit ce qu'on appelle aujourd'hui un espace riemannien de dimension quelconque.

— Bernard PIRE