DISTRIBUTIONS, mathématiques

Définition

Soit E un espace vectoriel. On dit qu'on a défini dans E une notion de suite convergente si on s'est donné un sous-ensemble ε de l'ensemble de toutes les suites d'éléments de E et une application de ε dans E qui à toute suite (x_n) de ε fait correspondre un élément x ∈ E, ce qu'on écrira (de manière purement formelle) : (x_n) → x dans E, et ce qu'on lira : La suite (x_n) converge vers x ; les éléments de ε s'appellent suites convergentes. On impose aux données précédentes les conditions suivantes : (a) Pour tout élément x ∈ E, la suite constante (x, x, ..., x, ...) est convergente et converge vers x ; (b) Si la suite (x_n) est convergente et converge vers x, alors, pour tout nombre λ du corps de base R ou C, la suite (λ x_n) converge vers λ x ; (c) Si (x_n) et (y_n) sont deux suites convergentes qui convergent respectivement vers x et y, alors la suite (x_n + y_n) converge vers x + y. (d) Si (x_n) converge vers x, toute sous-suite de (x_n) converge aussi vers x.

Les conditions ci-dessus sont les propriétés des suites convergentes (au sens usuel) de nombres réels ou complexes. Comme toujours dans l'approche formelle d'une notion, on retrouve donc, sous forme d'axiomes, des propriétés vérifiées dans les situations concrètes qu'il s'agit de généraliser. Si une suite (x_n) converge vers x, on dit aussi que (x_n) a pour limite x et on écrit :

Remarquons que, pour connaître ε, il suffit de connaître le sous-ensemble ε₀ de ε formé des suites (x_n) qui convergent vers 0 (d'après les axiomes, c'est d'ailleurs un espace vectoriel pour les opérations usuelles sur les suites). En effet, dire que (x_n) → x équivaut, d'après les axiomes, à dire que la suite (x_n − x) tend vers 0, ce qui met en évidence que la translation de vecteur x, qui à x_n fait correspondre x_n + x, est une bijection de ε₀ sur l'ensemble ε_x des suites qui convergent vers x. En abrégé, on dira qu'un espace vectoriel E est un e.v.s. si on a défini dans E une notion de suite convergente.

Un exemple fondamental

Il est clair que, si E est l'espace euclidien usuel de la géométrie dans l'espace, l'ensemble des suites convergentes au sens usuel satisfait aux conditions précédentes ; plus généralement, si E est un espace vectoriel normé, muni d'une norme ∥.∥, on peut définir directement, à partir de la norme, les suites (x_n) qui convergent vers x par la propriété suivante : La suite de nombres réels positifs ∥x − x_n∥ tend vers 0 pour n → ∞ ; il est clair que les conditions (a) à (d) sont alors satisfaites. L'exemple suivant est essentiel dans la définition des distributions ; on remarquera qu'on définit ici les suites convergentes sans l'intermédiaire d'une topologie.

Soit Ω un sous-ensemble ouvert de Rⁿ (c'est-à-dire que pour tout point de Ω il existe une boule de rayon > 0 contenue dans Ω). Toutes les fonctions considérées sont supposées à valeurs complexes. Si ϕ est une telle fonction définie et continue dans Ω, on appelle support de ϕ le plus petit ensemble fermé en dehors duquel ϕ est nulle ; D(Ω) désignera l'ensemble des fonctions définies dans Ω, admettant des dérivées partielles de tous ordres, et à support compact (c'est-à-dire borné et fermé dans Rⁿ).

Pour désigner les dérivées partielles d'ordre quelconque, on utilise la convention des multi-indices (. Par définition, un multi-indice est un système de n nombres entiers positifs ou nuls :

Il est clair que D(Ω) est un espace vectoriel ; munissons-le d'une structure d'e.v.s. en définissant les suites convergentes. Soit (ϕ_p) une suite d'éléments de D(Ω) ; on dira que la suite (ϕ_p) est convergente et converge vers une fonction ϕ ∈ D(Ω) si les deux conditions suivantes sont réalisées : (a′) Toutes les fonctions ϕ_p, ainsi que la fonction ϕ, sont nulles en dehors d'un même compact K de Ω ; (b′) Pour tout multi-indice α, la suite des dérivées partielles (∂^αϕ_p/∂x^α) converge uniformément sur K vers la dérivée partielle correspondante de ϕ :

Morphismes

On va maintenant définir les morphismes des e.v.s., c'est-à-dire les applications d'un tel e.v.s. dans un autre qui respectent les deux notions définissant la structure d'un e.v.s. : la structure vectorielle et les « suites convergentes ».

Soit E et F, deux e.v.s. Un morphisme u de E dans F est, par définition, une application linéaire de E dans F (c'est-à-dire telle que u(λ x + μ y) = λ u(x) + μ u(y), pour x, y ∈ E et λ, μ dans le corps de base R ou C) qui transforme toute suite convergente de E en une suite convergente de F : si (x_n) → x dans E, alors (u(x_n)) → u(x) dans F ; on dit aussi que u est une application linéaire séquentiellement continue (ou « continue pour les suites »). Pour qu'une application linéaire de E dans F soit un morphisme, il faut et il suffit qu'elle transforme toute suite convergente vers 0 dans E en une suite convergente vers 0 dans F.

Voici deux exemples de morphismes de l'e.v.s. D(Ω) dans lui-même. Si on désigne par ∂/∂x_i l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la i-ième coordonnée dans Rⁿ, l'application ϕ ↦ ∂ ϕ/∂x_i est un morphisme de D(Ω). De même, si f est une fonction admettant dans Ω des dérivées partielles de tous ordres, l'opération de multiplication par f, qui s'écrit ϕ ↦ f ϕ, est un morphisme de D(Ω) dans D(Ω).

Si E et F sont deux e.v.s., on peut munir l'espace vectoriel L (E, F) des morphismes de E dans F d'une notion de suite convergente en disant qu'une suite u_n de morphismes de E dans F converge vers u ∈ L(E, F) si (u_n(x)) → u(x) dans F pour tout élément x ∈ E. En particulier, cette définition permet de munir d'une structure d'e.v.s. l'espace vectoriel E′ des applications linéaires de E dans son corps de base qui sont continues pour les suites.

On retrouve dans le cadre des e.v.s. l'importante notion de transposée d'une application linéaire (cf. algèbre linéaire). Soit, en effet, E et F deux e.v.s., et u un morphisme de E dans F ; désignons par E′ et F′, comme ci-dessus, les e.v.s. des applications linéaires respectivement de E et F dans le corps de base ( formes linéaires sur E et F), qui sont séquentiellement continues. Pour toute forme linéaire f ∈ F′, la forme g = f ∘ u est une forme linéaire séquentiellement continue sur E, donc est un élément de E′, et on vérifie facilement que l'application linéaire ^tu : F′ → E′, qui à f ∈ F′ fait correspondre f ∘ u ∈ E′, est séquentiellement continue ; on définit ainsi le morphisme ^tu transposé de u.