DISTRIBUTIONS, mathématiques

Définition des distributions

Il est clair que, pour généraliser la notion de fonction, il faut abandonner certaines propriétés usuelles des fonctions (par exemple le fait qu'une fonction prend une valeur déterminée en chaque point) pour ne conserver que certaines propriétés. L. Schwartz utilise comme notion essentielle la propriété d'opérer linéairement sur des classes de fonctions très régulières.

Méthode générale de construction

La méthode générale pour définir un espace de fonctions généralisées sur un ouvert Ω de Rⁿ est la suivante. On prend tout d'abord un e.v.s. T de fonctions « suffisamment régulières » dans Ω ; par définition, l'espace des fonctions généralisées sur Ω est alors l'espace T′ des formes linéaires séquentiellement continues sur T. Pour justifier la terminologie de « fonctions généralisées », il faut identifier les fonctions « régulières » sur Ω à des éléments de T′ ; pour cela, on identifie une telle fonction f à la forme linéaire sur T :

où x = (x₁, ..., x_n) et dx = dx₁dx₂ ... dx_n. Nous allons préciser ces indications générales en construisant en détail les distributions proprement dites.

Définition des distributions

On prend ici pour espace T l'e.v.s. D(Ω), défini ci-dessus, des fonctions indéfiniment différentiables et à support compact dans Ω. L'espace D′ (Ω) des distributions dans Ω est alors par définition l'ensemble des formes linéaires T séquentiellement continues sur D ; on note indifféremment :

la valeur de la distribution T (forme linéaire sur D(Ω)) sur la fonction ϕ ∈ D(Ω). Remarquons que la dernière écriture est abusive ; elle est utilisée car elle rappelle que, si T est une fonction, l'expression de T(ϕ) est donnée par une intégrale. Précisons ce point.

Si f est une fonction intégrable (au sens de la théorie de Lebesgue) sur tout compact de Ω (on dit alors que f est localement intégrable), on peut l'identifier à la distribution :

les distributions définies par deux fonctions f et g localement intégrables dans Ω coïncident si et seulement si f et g « coïncident » au sens de la théorie de Lebesgue, c'est-à-dire sont égales presque partout ; ainsi, les distributions ne généralisent pas à proprement parler les fonctions, mais les classes de fonctions égales presque partout : si on modifie une fonction en changeant sa valeur en un point, par exemple, elle définit toujours la même distribution ; on a bien abandonné la propriété des fonctions d'être définies par leur valeur en tout point.

La notion d'e.v.s. permet de définir la notion de suites convergentes de distributions : si T₁, T₂, ..., T_n, ... est une suite de distributions, on dit, en accord avec la définition de l'e.v.s. D′(Ω), que cette suite tend vers une distribution T si :

pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω). On peut montrer que, si pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω) la suite de nombres complexes T_n(ϕ) tend vers une limite, l'application définie dans D(Ω) qui à ϕ ∈ D(Ω) fait correspondre cette limite est une distribution, limite de la suite des distributions T_n. Cette propriété est généralement très facile à vérifier et permet de définir de nombreuses distributions nouvelles à partir de distributions déjà connues.

La notion de suite convergente de distributions permet en particulier de définir les séries convergentes de distributions. Si (T_n) est une suite de distributions, on dit que la série de terme général T_n est convergente (au sens des distributions) de somme T si la suite des sommes partielles est convergente au sens indiqué ci-dessus ; on écrit alors Σ T_n = T.

Exemples

a) Soit a un point de Rⁿ ; l'application qui à toute fonction ϕ ∈ D(Rⁿ) fait correspondre la valeur ϕ(a) de la fonction ϕ en a est une distribution appelée distribution de Dirac et notée δ_a.[...]

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Écrit par

Paul KRÉE : professeur à l'université de Paris-VI

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