DISTRIBUTIONS, mathématiques

Propriétés des distributions

À partir d'une application linéaire séquentiellement continue L de D dans D (opérateur dans D), on peut définir, par transposition, un opérateur linéaire L′ dans l'espace D′ des distributions :

Dérivation des distributions

Les distributions étant une généralisation de la notion de fonction régulière, essayons d'étendre aux distributions la notion de dérivation. Pour cela, analysons tout d'abord les propriétés des opérateurs de dérivation partielle pour les fonctions continûment dérivables dans un ouvert Ω de Rⁿ.

Pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω), on a, si T désigne à la fois une fonction continûment dérivable dans Rⁿ et la distribution qu'elle définit :

mettant en évidence la variable x_j, on peut écrire (en permutant les variables) x = (x′, x_j), d'où dx = dx′ dx_j, ce qui donne, par intégration par parties,

Or, l'opérateur L = − (∂/∂x_j) est séquentiellement continu dans D(Ω) (cf. supra, Morphismes) ; l'opérateur transposé, noté ∂/∂x_j est donc un opérateur séquentiellement continu de D′(Ω) qui prolonge la dérivation au sens usuel. Pour toute fonction ϕ de D(Ω), la j-ième dérivée partielle de la distribution T donne donc par définition :

Ainsi, par exemple, la distribution dérivée de la distribution de Dirac en α sur la droite est telle que (δ′_α, ϕ) = − ϕ′(α).

Support

Si Ω′ est un ouvert contenu dans Ω, on a un morphisme naturel

qui à toute fonction ϕ ∈ D(Ω′) associe la fonction p(ϕ) obtenue en prolongeant ϕ par 0 en dehors de Ω′. L'opérateur transposé de p est l'opérateur p′ sur les distributions défini par :

p′ (T) est généralement noté T_Ω′, restriction de la distribution T à l'ouvert Ω′. On dit que T est nulle sur Ω′ si T_Ω′ = 0.

Si T est une distribution dans un ouvert Ω, on appelle support de T le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts Ω′ sur lesquels T est nulle. Par exemple, le support de la distribution de Dirac au point a de Rⁿ est constitué du seul point a.

Produit direct

Soit Ω un ouvert de l'espace Rⁿ de la variable x, et Ω′ un ouvert de l'espace R^p de la variable y, respectivement. Si T et U sont des fonctions continues dans Ω et Ω′ respectivement, la distribution T × U dans Ω × Ω′ définie par la fonction T(x) U(y) satisfait à :

pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω × Ω′).

On peut montrer que lorsque T et U sont des distributions, si on considère les intégrales comme des accouplements distributions-fonctions (abus de notation signalé plus haut), alors les expressions (1) et (2) ont un sens, sont égales, et on peut montrer que l'application qui à ϕ ∈ D(Ω × Ω′) fait correspondre (1) ou (2) est une distribution. Cette distribution, notée T × U, est appelée produit direct de T et U.

Convolution

Soit T et U deux fonctions continues et intégrables dans Rⁿ ; on appelle produit de convolution de T et U la fonction définie par la formule intégrale

La fonction T _* U ainsi définie est telle que, pour toute fonction ϕ de D(Rⁿ),

On montre que, dans certains cas, on peut donner un sens à (3) pour des distributions T et U, et définir ainsi une distribution, notée T _* U. Cela est possible, par exemple, si l'une des distributions est à support compact. Sur R, on peut également définir le produit de convolution de deux distributions S et T qui s'annulent pour t < 0.

L'intérêt pratique de la convolution est que de nombreuses opérations usuelles sont des convolutions. Par exemple, pour toute distribution T sur Rⁿ et pour tout multi-indice α :

où δ₀ est la distribution de Dirac à l'origine des coordonnées. On voit l'intérêt de l'étude des équations de convolution, du type A _* X = B, où A et B sont des distributions connues ; la résolution d'une telle équation[...]

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Écrit par

Paul KRÉE : professeur à l'université de Paris-VI

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