DISTRIBUTIONS, mathématiques

Séries et intégrales de Fourier

La plupart des grandes théories de l'analyse classique s'étendent aux distributions ; nous nous limiterons ici à des indications rapides sur la théorie de Fourier (cf. analyse harmonique) en renvoyant à l'article calcul symbolique pour la transformation de Laplace.

Transformation de Fourier dans l'espace S

Le domaine naturel de la transformation de Fourier élémentaire est l'espace S des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées : c'est l'espace des applications ϕ indéfiniment dérivables de Rⁿ dans le corps C des nombres complexes telles que :

pour tout entier l et tout multi-indice k. Cet espace S(Rⁿ) est une e.v.s. pour la notion suivante de suites convergentes : par définition, une suite (ϕ_n) de fonctions de S tend vers 0 si :

quels que soient l'entier l et le multi-indice k.

Pour ϕ ∈ S(Rⁿ), on appelle transformée de Fourier de S, la fonction :

définie par la formule intégrale :

où < x, u >= u₁x₁ + u₂x₂ + ... + u_nx_n désigne le produit scalaire dans Rⁿ. Cette définition de la transformation de Fourier n'est pas universelle ; certains auteurs préfèrent prendre par exemple :

On passe d'une définition à l'autre par un simple changement de variable dans l'intégrale définissant ̂ϕ. Nous écrirons tout ce qui suit avec la convention indiquée, adoptée par de nombreux mathématiciens qui étudient les équations aux dérivées partielles. Dans l'article analyse harmonique, au contraire, on préférera adopter la seconde formule.

L'application F qui à ϕ fait correspondre sa transformée de Fourier ̂ϕ possède les principales propriétés suivantes :

a) la fonction ϕ est dans S et

est un isomorphisme de l'e.v.s. S sur lui-même ;

b) pour tout couple de fonctions ϕ et ψ de S, on a les formules :

(relation de Parseval),

(relation de Plancherel) ;

c) l'isomorphisme réciproque de l'isomorphisme F est défini par :

(formule d'inversion de Fourier).

Transformation de Fourier dans S′

On appelle distribution tempérée dans Rⁿ toute forme linéaire séquentiellement continue sur S ; remarquons que, puisque l'application identique de D(Rⁿ) dans S(Rⁿ) est un morphisme et que toute ϕ de S est limite d'une suite d'éléments de D, la transposée de cette application identique est une injection. Cette injection fait apparaître l'espace S′ des distributions tempérées comme un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel D′ des distributions.

Par définition, on appelle alors transformée de Fourier d'une distribution tempérée T la distribution tempérée T̂ définie par :

Considérons par exemple la distribution sur R définie par la fonction x ; sa transformée de Fourier x est telle que :

un calcul facile montre que cette dernière intégrale vaut :

où δ′₀ est la dérivée (au sens de distributions) de la distribution de Dirac en 0. Ainsi ̂x = 2 i πδ′₀. Par des raisonnements analogues, on pourrait montrer que la distribution :

a pour transformée de Fourier :

ce qui est équivalent à la relation de Poisson,

valable pour toute fonction ϕ ∈ S(R).

Coefficients de Fourier d'une distribution périodique

Comme d'habitude, on identifiera le tore T = R/2 πZ (quotient de R par la relation d'équivalence x ∼ y si x − y est un multiple entier de 2 π) à la circonférence unité du plan complexe, tout point de cette circonférence étant caractérisé par son affixe eⁱ^θ, ou, ce qui revient au même, par son abscisse curviligne θ. Cette identification établit une correspondance naturelle entre les fonctions définies sur le tore T et les fonctions périodiques de période 2π définies sur R. Par définition, on dit qu'une fonction définie sur T est indéfiniment dérivable s'il en est ainsi pour la fonction périodique[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

Des contenus variés, complets et fiables
Accessible sur tous les écrans
Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Paul KRÉE : professeur à l'université de Paris-VI

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Média

Distribution de Dirac - crédits : Encyclopædia Universalis France — Distribution de Dirac

Encyclopædia Universalis France

Autres références

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)
- Écrit par Bernard PIRE
- 200 mots
Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation...
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
- Écrit par Claude BARDOS
- 10 628 mots
- 3 médias
...est donc conduit à chercher une solution discontinue de (3) après le choc, c'est-à-dire une fonction u-mesurable et bornée qui vérifie (4) au sens des distributions. En particulier, si elle est discontinue le long d'une courbe x = s(t), dite courbe de choc, elle devra vérifier la relation de...
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
- Écrit par Martin ZERNER
- 5 367 mots
Le résultat de Holmgren a été étendu par Hörmander aux solutions distributions. Il est nécessaire dans ce nouveau cadre de reformuler le problème, puisque la restriction d'une distribution à l'hyperplan t = 0, qui intervient dans les données de Cauchy, n'a a priori pas de sens. Notons...
DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)
- Écrit par Encyclopædia Universalis et Jean-Luc VERLEY
- 385 mots
- 1 média
Les travaux du mathématicien français Jean Dieudonné concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre.
Né le 1^er juillet 1906 à Lille, Jean Dieudonné passe une année au Royaume-Uni en 1919 et une fin d’études secondaires au lycée Faidherbe de Lille, avant d’intégrer...
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 18 453 mots
- 6 médias
Les convergences avec conditions sur les supports jouent un rôle important dans les problèmes liés au calcul intégral et à ses extensions (mesures de Radon et distributions).
Afficher les 7 références