DIVISIBILITÉ
Théorèmes classiques
Théorème d'Euler-Fermat
Euler établit, en 1760, le théorème d'Euler-Fermat, suivant lequel, si m est entier naturel, et (a, m) = 1, on a :
En effet, un système réduit de résidus modulo m, soit r1, r2, ..., rϕ(m) est transformé, on l'a vu, en un système réduit par multiplication par a ; donc ar1, ar2, ..., arϕ(m) sont, modulo m, égaux à une permutation de r1, r2, ..., rϕ(m) d'où le produit :
Théorème de Wilson
Le théorème de Wilson énonce que :
Racines primitives
La notion de racine primitive modulo m, est liée à la formule d'Euler :
Soit en effet k le plus petit exposant pour lequel ap ≡ 1 (mod m). On dit que a appartient à l'exposant k (mod m), ou que k est l'ordre de a, modulo m. Il s'ensuit que k divise tout x tel que ax ≡ 1 (mod m) ; en particulier, k |ϕ (m), et on dit que a est une racine primitive modulo m si l'ordre de a est ϕ(m), c'est-à-dire si ϕ(m) est effectivement le plus petit exposant pour lequel ap ≡ 1 (mod m). Cette définition montre que tout entier congru, modulo m, à une racine primitive, en est également une. Ces racines primitives ont l'importante propriété que, pour chacune d'elle, a par exemple, les nombres a, a2, a3, ..., aϕ(m) forment un système réduit de résidus. On démontre que tout p premier possède des racines primitives ; il y en a exactement ϕ(p − 1) distinctes entre elles, modulo p. Cela découle d'un théorème assez surprenant suivant lequel, si p est premier, et d |(p − 1), il y a exactement ϕ (d) nombres non congrus 2 à 2 et dont l'ordre est d (modulo p) ; le nombre des nombres d'ordre d (modulo p) ne dépend donc pas de p, dès que d divise (p − 1). Pour l'existence des racines primitives modulo m, avec m non premier, l'étude, plus délicate, fut faite par Gauss, qui établit que ces racines primitives n'existent que si m = 2, 4 ou pk ou 2pk (p premier impair quelconque).
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Écrit par
- Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims
Classification
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