DIVISIBILITÉ

Résidus et non-résidus

Un nombre a premier à m est dit résidu quadratique de m, si x² ≡ a (mod m) a des solutions entières en x ; sinon a est dit non-résidu quadratique (avec toujours la condition a premier à m). Dans le cas où m = p premier, il est facile de voir qu'il existe, modulo p, (p − 1)/2 résidus quadratiques et (p − 1)/2 non-résidus ; en effet, 1², 2², ..., (p − 1)² donnent, modulo p, (p − 1)/2 classes résiduelles différentes ; car (p − q)²≡ q² et a² − b² = (a − b) (a + b) ≡ 0 (mod p) si a et b sont au plus égaux à (p − 1)/2. Par exemple, pour p = 11, on a les résidus quadratiques 1, 3, 4, 5 et 9. On peut établir aisément, pour m quelconque, que le produit de deux résidus quadratiques de m est un résidu ; car x²≡ a et y²≡ b entraîne (xy)²≡ ab (mod m). Dans le cas où m = p premier, le produit d'un résidu par un non-résidu est un non-résidu et le produit de deux non-résidus est un résidu ; il suffit pour cela d'envisager a, 2 a, 3 a, ..., (p − 1)a, qui sont non congrus modulo p, donc forment un système complet (mod p). Il y a donc (p − 1)/2 résidus et (p − 1)/2 non-résidus, quel que soit a premier à p, et, si a est résidu, les (p − 1)/2 résidus proviennent du produit par a des résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 non-résidus correspondent aux produits de a par les non-résidus de p. Si a est non-résidu, les (p − 1)/2 non-résidus proviennent donc du produit de a par les résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 résidus correspondent aux produits de a par les non-résidus de p. Pour m quelconque, cependant, on peut avoir le produit de deux non-résidus qui soit un non-résidu : par exemple, pour m = 45, les résidus quadratiques sont 1, 4, 16, 19, 31, 34, et 2 × 7 = 14. Un critère d'Euler établit que, pour p premier différent de 2, a est résidu ou non-résidu quadratique de p suivant que, respectivement,

on ne peut avoir que l'une ou l'autre de ces congruences puisque a^p-1≡ 1 (mod p). On peut, à partir de ce critère, retrouver les théorèmes concernant les produits de résidus ou non-résidus (mod p).

Loi de réciprocité

Legendre a introduit un symbole qui porte son nom : pour p premier,

si a est résidu ;si a est un non-résidu. On a donc :

Ce symbole permet d'exprimer un important théorème connu sous le nom de loi de réciprocité quadratique. Cette loi fut prouvée par Euler en 1783, retrouvée par Legendre en 1785 et mise au point par Gauss en 1808 ; elle s'écrit, pour deux premiers impairs distincts p et q, sous la forme :

En d'autres termes les congruences x²≡ p (mod q) et y²≡ q (mod p) sont résolubles ensemble, ou non, sauf si p ≡ q ≡ 3 (mod 4), auquel cas une et une seule de ces équations est résoluble. Le symbole de Legendre a été étendu par Jacobi, qui définit

les nombres premiers p_i étant distincts ou non. Ce symbole, toutefois, a l'inconvénient d'être égal à + 1 sans que a soit toujours résidu quadratique modulo p₁p₂ ... p_n ; par exemple :vaut toujours + 1. On peut cependant établir, pour a et b premiers entre eux, queentraîne que a est non-résidu quadratique modulo b. Signalons enfin que le théorème de Wilson : (p − 1) ! ≡ − 1 (mod p), établi antérieurement, se démontre à partir des résidus : pour p premier impair et pour a non multiple de p, on peut établir que :il suffit, pour cela, d'associer les couples x et (p − x) et de voir que, deux à deux, on a x′x″ ≡ a (mod p) ou bien, si a est résidu, x₁²≡ a et (p − x₁)x₁≡ − a (modp) et x′x″ ≡ a (mod p) pour les autres. Les résidus quadratiques sont utilisés en particulier dans la théorie des corps quadratiques, dans[...]