- 1. Efforts s'exerçant sur un ensemble mécanique
- 2. Le principe fondamental
- 3. Dynamique analytique pour un ensemble de solides
- 4. Mouvement relatif
- 5. Liaisons mécaniques s'exerçant sur un solide
- 6. Fonction de force
- 7. Intégrales premières des équations de la mécanique
- 8. Galiléens approchés. Accélération de la pesanteur
- 9. Équilibres absolus et relatifs
- 10. Autres applications du principe fondamental
- 11. Bibliographie
DYNAMIQUE
Autres applications du principe fondamental
En donnant au principe fondamental une forme équivalente, mais légèrement différente, on peut montrer son application à un cas de la dynamique des systèmes « à masse variable » puis à la dynamique des chocs.
Auparavant, il faut définir la dérivée d'un torseur par rapport au temps t dans un repère (λ).
La dérivée du torseur {T} dépendant de t dans le repère (λ) est, par définition, le torseur noté :
On vérifie immédiatement que le moment de { T′ }, en un point Q dont la situation dans (λ) dépend de t, est :
Nouvel énoncé du principe fondamental
Il existe au moins un repère dit galiléen (ou absolu) et une chronologie absolue tels que, pour tout ensemble matériel Σ, la dérivée par rapport au temps dans le repère galiléen du torseur des quantités de mouvement galiléen est égale au torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur cet ensemble :
Cet énoncé est équivalent au précédent ; car, compte tenu de la définition de la dérivée d'un torseur, le torseur :
Mouvement de translation d'une fusée
La propulsion d'une fusée étant une propulsion par réaction, l'émission des gaz est trop importante pour que la masse de la fusée (constituée de l'enveloppe et des combustibles non consommés) puisse être considérée comme constante. Le principe fondamental s'applique à un ensemble matériel Σ bien déterminé et dont les constituants sont suivis dans leurs mouvements. La fusée étant par hypothèse en translation, on admet que tous ses points, et en particulier son centre d'inertie G, ont tous la même vitesse Vg(t ) à une date donnée t. On admet que chaque particule de gaz éjecté a, à la date t, la même vitesse w (t ) par rapport à l'enveloppe.
Considérons, à l'instant t, l'ensemble matériel Σ, formé par l'enveloppe et le combustible intérieur à l'enveloppe jusqu'à sa section droite arrière ; la quantité de mouvement de cet ensemble est, à la date t,
Pendant l'intervalle de temps (t, t + Δt ), une certaine masse de gaz (− Δ m) est brûlée, de telle sorte que la masse de la fusée jusqu'à la section droite arrière de l'enveloppe est, à l'instant t + Δt, m(t ) + Δm, alors que la vitesse de translation de la fusée a pour valeur V(t ) + Δ V. À l'instant t + Δt, la somme géométrique du torseur cinétique du même ensemble matériel Σ que celui considéré à la date t est devenue :
En divisant par Δt et en faisant tendre Δt vers zéro, il vient, au second ordre près :
Le théorème de la somme dynamique donne, pour le mouvement de translation d'une fusée propulsée par réaction,
L'éjection de gaz se traduit donc par la force :
Dans la somme géométrique des forces extérieures, on néglige, à cause de la faible pression, l'action des gaz éjectés sur la fusée.
Dynamique des chocs
On dit qu'au cours du mouvement d'un système matériel Σ se produit un choc si, en un intervalle de temps infiniment court Δt = t1 − t0, les vitesses des différents points du système subissent une variation finie.
Dans la théorie approchée de la dynamique des chocs, on ne tient pas compte des effets thermiques et des déformations de solides qui accompagnent toujours ces phénomènes ; de plus, on néglige les termes de l'ordre de grandeur de Δt en ne conservant que les termes finis (de l'ordre de la variation des vitesses).[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique
Classification
Médias
Solides en contact ponctuel
Encyclopædia Universalis France
Liaison rotoïde
Encyclopædia Universalis France
Liaison verrou
Encyclopædia Universalis France
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