DYNAMIQUE

Le principe fondamental

Énoncé

Il existe au moins un repère d'espace, dit absolu ou galiléen (g), et une échelle de temps, privilégiée par définition, tels que, pour tout ensemble matériel Σ et à tout instant, le torseur dynamique {A^g_Σ} est égal au torseur des efforts extérieurs agissant sur Σ :

Ce principe est à la base de toute étude mécanique. Son énoncé admet l'existence d'au moins un repère privilégié en dynamique, alors que tous les repères introduits en cinématique et en cinétique étaient équivalents. La validité de ce principe est vérifiée par l'expérience.

Ayant admis l'existence d'un repère absolu, la formule de composition des accélérations entraîne que tout repère en translation rectiligne et uniforme par rapport à ce repère absolu sera aussi galiléen. Il existe donc une classe des galiléens qui sont indiscernables les uns des autres par l'expérience.

Dans des schémas d'étude, certains repères non galiléens pourront être considérés comme galiléens, lorsque l'erreur commise sera acceptable.

Conséquences du principe fondamental

Théorèmes généraux

L'égalité de deux torseurs entraînant l'égalité de leurs éléments de réduction en tout point, on en déduit les théorèmes suivants :

1. Théorème de la somme dynamique.

ce qui, compte tenu des résultats de cinétique, s'écrit ( en désignant par G le centre d'inertie de l'ensemble matériel Σ et par m (Σ) sa masse) :

Pour tout ensemble matériel Σ, la quantité d'accélération galiléenne du centre d'inertie supposé doué de la masse totale est égale à la somme géométrique du torseur des efforts extérieurs agissant sur l'ensemble matériel considéré.

2. Théorème du moment dynamique.

L'égalité des moments en un même point I s'écrit :

Ainsi, pour tout ensemble matériel Σ, le moment dynamique galiléen en un point quelconque est égal au moment, en ce point, du torseur des efforts extérieurs agissant sur l'ensemble matériel considéré.

Si un ensemble matériel est en équilibre, son torseur dynamique est le torseur nul, d'où {σ̄ → Σ} = {0} ce qui s'énonce : Si un ensemble matériel Σ est en équilibre par rapport à un galiléen, le torseur des efforts extérieurs agissant sur lui est le torseur nul. Le principe fondamental de la statique est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique.

3. Théorème de l'action et de la réaction.

Considérant une partition d'un ensemble Σ en deux sous-ensembles disjoints Σ₁ et Σ₂ et appliquant successivement le principe fondamental à Σ, Σ₁ et Σ₂, on montre que :

Quels que soient les deux ensembles matériels disjoints Σ₁ et Σ₂, le torseur des actions exercées par Σ₁ sur Σ₂ est opposé au torseur des actions exercées par Σ₂ sur Σ₁.

Cas des systèmes de masse négligeable

Dans la schématisation de certains systèmes mécaniques, il apparaît légitime d'admettre que la masse de certaines parties du système est suffisamment petite par rapport aux masses des autres parties de ce système pour pouvoir être négligée. C'est par un abus de langage que l'on parle de système de masse nulle, un organe ne pouvant avoir une masse négligeable que par rapport aux autres masses du système mécanique étudié. Soit Σ′ un tel organe ; si on lui applique le principe fondamental, on a {σ̄′ → Σ′} = {0}.

En particulier, si Σ′ ne subit des actions que des deux ensembles Σ₁ et Σ₂ (ce qui revient à dire que σ̄′ est la réunion de Σ₁ et de Σ₂), on obtient, en tenant compte du théorème de l'action et de la réaction, (Σ′ → Σ₁) = {Σ₂ → Σ′}, ce qu'on traduit en disant que les organes de masse négligeable transmettent intégralement les actions qu'ils reçoivent.

Exemple d'application : solide libre dans l'espace

Soit[...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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