DYNAMIQUE

Dynamique analytique pour un ensemble de solides

Dans le cadre de la mécanique des systèmes formés d'un nombre fini de solides, les équations dites de la dynamique analytique se déduisent tout naturellement du principe fondamental de la dynamique. C'est ce formalisme que nous adopterons ici.

On remarque simplement que :

– quel que soit le torseur {W}, le principe fondamental de la dynamique entraîne pour tout ensemble matériel Σ :

– quel que soit le torseur {W}, dans le cas où un torseur {F} est défini sur un ensemble E par une densité vectorielle f (M) relative à une mesure μ, alors le produit scalaire des deux torseurs s'écrit :

Théorème de l'énergie-puissance

Cas du solide unique S

Appliquons à un solide unique S l'égalité (3), en prenant comme torseur {W} le torseur distributeur {^g_S} des vitesses de S par rapport au galiléen (g) :

Le scalaire {S̄ → S} {^g_S} est, par définition, la puissance galiléenne développée par les efforts extérieurs à S. Si on applique au scalaire {A^g_S} {^g_S} le résultat (4), il vient :

ce qui s'énonce : Pour un solide unique, la dérivée totale de l'énergie cinétique galiléenne est égale à la puissance galiléenne développée par les efforts extérieurs agissant sur S.

Dans le cas particulier (réalisé chaque fois que S n'est pas soumis à un champ électromagnétique) où le torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur S est défini par des densités vectorielles f_i (M) définies par rapport aux mesures μ_i, si l'on pose, pour simplifier l'écriture,

le second membre s'écrit :

Dans le cas général, le second membre prend la forme :

où d C(M) désigne la densité de couple :

Cas d'un ensemble fini de solides

Considérons un ensemble matériel Σ constitué par la réunion de p solides S_j (j = 1, 2, ..., p).

Pour chacun des solides S_j, le théorème précédent s'écrit :

ou, en sommant sur j,

Pour un ensemble fini de solides, la dérivée par rapport au temps (dérivée totale) de l'énergie cinétique galiléenne du système est égale à la puissance galiléenne développée par tous les efforts extérieurs à chacun des solides constituant le système.

Remarquons que les efforts extérieurs à un solide déterminé {S̄_j → S_j} se décomposent en efforts extérieurs à l'ensemble Σ et en efforts s'exerçant entre les solides qui constituent Σ (interefforts) :

Il faut donc calculer la puissance développée par tous les efforts extérieurs à l'ensemble Σ et par tous les efforts s'exerçant entre les S_j formant le système.

Équations de Lagrange pour un solide unique S

Appliquons à un solide unique S l'égalité (3) en choisissant comme torseur {W} le torseur, qu'on notera {^g_S,_i}, défini de la façon suivante : {^g_S,_i} a pour éléments de réduction en tout point M de S où il est défini :

où les q_i désignent les paramètres repérant, par rapport à (g), la position de S (n ≤ 6). La relation (1) s'écrit ici :

Calculons le premier membre en appliquant (4) :

V^g (M) est évidemment une fonction linéaire des q′_i ; posons :

les a_i et b ne dépendant que des paramètres de position q_i et du temps t. Il vient :

on voit immédiatement que, si :

le terme non intégré est nul et il reste alors :

ce que nous supposerons par la suite.

Étudions maintenant le second membre :

on donne à Q_i^g le nom de coefficient énergétique (galiléen) relatif au paramètre q_i. Dans le cas général, Q_i s'écrit :

Remarquons que l'on peut exprimer Q_i^g en fonction de P^g :

Les deux derniers termes non intégrés sont nuls lorsque le torseur des efforts extérieurs n'est pas exprimé explicitement en fonction des q′_i. Finalement, si :

l'équation de Lagrange pour un solide unique s'écrit :

Équations de Lagrange pour un ensemble fini de solides

Soit un ensemble matériel Σ, formé par la réunion de [...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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