DYNAMIQUE

Liaisons mécaniques s'exerçant sur un solide

La position par rapport à un repère (λ) d'un système mécanique Σ formé de s solides non rectilignes, de r solides rectilignes et de p points matériels dépend a priori de N = 6 s + 5 r + 3 p paramètres appelés paramètres primitifs du système Σ par rapport à (λ). En général, ces paramètres ne sont pas indépendants et il existe des relations entre eux, leurs dérivées et le temps, relations indépendantes de l'étude dynamique et introduites par l'étude cinématique ou géométrique.

Étude cinématique et géométrique

Toute condition de contact entre deux solides introduit, par suite de l'indéformabilité, une liaison entre les paramètres primitifs. Par exemple, le contact d'une sphère de rayon R avec un plan est une liaison de caractère géométrique : le centre de la sphère est à la distance R du plan.

Si, de plus, la sphère est astreinte à rouler sans glisser sur le plan (ce qui se traduit en écrivant que la vitesse du point de la sphère au contact du plan est nulle par rapport à celui-ci), on a deux liaisons de type cinématique qui s'expriment par deux relations entre les paramètres et leurs dérivées premières par rapport au temps. Plus généralement, une équation de liaison est dite holonome si elle ne fait intervenir que les paramètres (et éventuellement le temps). Une équation de liaison est dite non holonome si elle se présente sous la forme d'une fonction non intégrable des paramètres et de leurs dérivées premières. Cette distinction est essentielle lorsqu'on emploie la méthode de Lagrange.

Étude dynamique

On a été conduit à admettre que, chaque fois qu'on introduit une liaison dans un système, on introduit, du point de vue des forces, un torseur inconnu, dit torseur de liaison. Si l'on tient compte de l'équation de liaison, cela revient à faire intervenir cinq inconnues supplémentaires qui rendent indéterminés les problèmes de dynamique du solide lié. Pour lever cette indétermination, on a été amené à admettre des lois d'origine expérimentale, notamment des lois de frottement pour deux solides en contact.

Lois du frottement de deux solides en contact

Solides en contact ponctuel - crédits : Encyclopædia Universalis France — Solides en contact ponctuel
Encyclopædia Universalis France

Considérons le cas de deux solides S₁ et S₂ en contact ponctuel (on désigne par contact ponctuel un contact suivant une surface de mesure négligeable). Nous supposerons que ces deux solides sont limités par des surfaces ayant un plan tangent commun (π) bien défini au point de contact I. Désignons par n₂₁ le vecteur unitaire de la normale commune à S₂ et S₁ en I dirigé de S₂ vers S₁. Considérons le torseur distributeur des vitesses de S₁ par rapport à un repère lié à S₂ :

V^S^₂ (I ∈ S₁) est la vitesse de glissement en I de S₁ par rapport à S₂ notée →G (S₁/S₂), c'est un vecteur situé dans le plan tangent commun. ΩS₂S₁ peut être décomposé par projection sur n₂₁ et sur le plan (π) : (ΩS₂S₁ ( n₂₁)n₂₁ = Ωn₂₁ est la composante de pivotement ; n₂₁ ∧ (ΩS₂S₁ ∧ n₂₁) = Ω_π est la composante de roulement.

Le torseur des actions exercées par S₂ sur S₁ est représenté par un torseur {S₂ → S₁} dont les éléments de réduction en I peuvent être décomposés suivant leurs composantes dans (π) et sur n₂₁ ; ainsi

Dans la plupart des schémas d'étude, M_π et M_n, couples de résistance au roulement et au pivotement, peuvent être négligés. Nous ne donnerons que les lois du frottement de glissement relatives à T et N (lois de Coulomb).

Deux cas sont à distinguer :

– Si →G(S₁/S₂) ≠ 0, on a, d'une part, T colinéaire à →G et de sens contraire, ce qu'on peut écrire :

et l'on a, d'autre part, |T₂₁| = f |N₂₁|, où f est un coefficient, sans dimension, dit coefficient réciproque de frottement de glissement (on dit souvent coefficient de frottement). Sa valeur dépend de nombreux paramètres[...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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