DYNAMIQUE

Intégrales premières des équations de la mécanique

Les équations de la mécanique déduites du principe fondamental forment un système de n équations différentielles du second ordre (que l'on peut toujours ramener à un système de 2 n équations différentielles du premier ordre) dont l'intégration dépend de 2 n constantes qui, dans un problème de mécanique, sont les conditions initiales, c'est-à-dire la donnée des q_i(t₀) et des q′_i(t₀) à un instant t₀ pris comme instant initial.

On appelle intégrale première toute fonction f (q_i, q′_i, t ) qui reste constante au cours du mouvement en vertu des équations déduites du principe fondamental exprimé sous l'une des formes suivantes : théorèmes généraux, théorème de l'énergie-puissance et équations de Lagrange. Donnons quelques exemples d'obtention d'intégrales premières. Théorème de la somme géométrique.

Si u désigne le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen et si J^g(G) ( u = 0, on a : V^g(G) ( u = constante (intégrale première).

Ce résultat n'est plus valable si u n'est pas fixe dans (g) (alors d^gu^/dt ≠ 0).

Si J^g(G) = 0, alors V^g(G) = C, vecteur constant, ce qui fournit trois intégrales premières scalaires.

Théorème du moment dynamique

Si u ( M_I {A^g_Σ} = 0 et si, de plus, I est un point fixe dans le galiléen (ou le centre d'inertie de Σ), u désignant le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen, alors on peut écrire l'intégrale première u ( M_I {p^g_Σ} = C^te.

Si M_I {A^g_Σ} = 0 et si I est un point fixe dans le galiléen (ou le centre d'inertie de Σ), on en déduit M_I {p^g_Σ} = C, vecteur constant dans le galiléen, et on obtient, par projection sur trois axes fixes dans (g), trois intégrales premières scalaires.

Théorème de l'énergie-puissance et théorème de Painlevé-Morel

Plaçons-nous dans le cas général où les liaisons dépendent du temps :

Alors, l'énergie cinétique a pour expression :

On peut distinguer dans cette fonction, respectivement, les ensembles de termes homogènes et de degré deux, un et zéro par rapport aux q′_k et écrire :

Le théorème de l'énergie s'écrit, pour un ensemble Σ de solides,

Prenons ici :

Les efforts extérieurs à Σ et les interefforts entre les S_i peuvent se décomposer en :

– un torseur inconnu maintenant la liaison dépendant du temps ;

– un torseur d'actions de contact (de Σ, avec des ensembles matériels extérieurs à Σ, et des S_i entre eux) ; ce torseur est en général inconnu ;

– un torseur d'efforts connus, soit efforts extérieurs (par exemple la pesanteur), soit interefforts entre les S_j (attraction newtonienne, interactions électriques, etc.).

Un calcul direct montre que la puissance développée par le torseur qui maintient la liaison dépendant du temps est :

En utilisant ce premier résultat important, on obtient la formule fondamentale :

Les conditions suffisantes (mais qui ne sont évidemment pas nécessaires) souvent rencontrées en pratique pour que le théorème de l'énergie donne une intégrale première sont les suivantes :

– si la puissance des efforts de contact (des S_i entre eux et de Σ avec les ensembles matériels extérieurs à Σ) est nulle ;

– si les forces données dérivent d'une fonction de forces U ;

– si T + U ne dépend pas explicitement du temps, on a :

ce qui donne l'intégrale première de Painlevé :

Lorsque les liaisons ne dépendent pas du temps, on obtient, comme cas particulier (compte tenu de T₀^g≡ 0) des conditions suffisantes d'existence de l'intégrale première de l'énergie cinétique,

Équations de Lagrange

Si, pour un paramètre q_k, on a

alors, l'équation de Lagrange correspondante donne l'intégrale première :

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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