DYNAMIQUE

Équilibres absolus et relatifs

On dit qu'un ensemble matériel Σ est en équilibre par rapport à un repère (λ) lorsque tous les paramètres q_i repérant la position de Σ par rapport à (λ) restent constants au cours du temps, q_i = q_i,_e étant solution de toutes les équations de mouvement, avec les conditions initiales q_i(t₀) = q_i,_e et q′_i(t₀) = 0.

Puisque les équations générales du mouvement sont :

les positions d'équilibre, si elles existent, sont déterminées par les valeurs q_i_,e des n paramètres constituant une solution des n équations :

Dans le cas où il n'y a pas de liaison dépendant du temps (T₀≡ 0) et où toutes les forces dérivent d'une fonction de forces U, les positions d'équilibre sont solutions des n équations :

Si certains seulement des q_i restent constants au cours du temps, il existe un équilibre par rapport à ces paramètres (équilibre relatif), mais il n'y a pas de position d'équilibre pour le système.

Stabilité d'un équilibre

Par définition, on dit qu'une valeur q_i_,e d'équilibre pour un paramètre q_i est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :

Une position d'équilibre d'un ensemble matériel Σ par rapport à un repère (λ) sera dite stable si, et seulement si, il y a stabilité par rapport à tous les paramètres.

Pratiquement, une position d'équilibre instable ne pourra jamais être mise en évidence, d'où l'importance de savoir reconnaître la stabilité d'une position d'équilibre.

Dans le cas où toutes les forces dérivent d'une fonction de forces indépendantes du temps, où il n'y a pas de liaison dépendant du temps et où la fonction de forces U dépend de tous les paramètres q_i, on a vu que les valeurs des q_i_,e sont celles qui rendent U extremum. On est assuré de la stabilité de l'équilibre (théorème de Lejeune-Dirichlet) si cet extremum est un maximum (maximum relatif strict).

Dans le cas général, on linéarise les équations du mouvement au voisinage de la position d'équilibre considérée, puis on étudie la stabilité du système linéarisé, d'où l'on déduit la stabilité de la position d'équilibre.

Technique de linéarisation

Les équations de mouvement d'un système mécanique, à n degrés de liberté, sont de la forme :

où i = 1, ..., n ; ce qu'on peut écrire :

La position d'équilibre peut toujours être obtenue pour q₁ = q₂ = ... = q_n = 0 ou en faisant un changement de variables.

La position d'équilibre correspond à f_i(0, 0) = 0.

Le système linéarisé au voisinage de la position d'équilibre q = 0 est, par définition, le système des n équations différentielles, linéaires, du second ordre, à coefficients constants :

où i = 1, ..., n ; ce qui s'écrit sous forme condensée :

où i = 1, ..., n et où les α_ij, β_ij, γ_ij sont des constantes.

Équation caractéristique et stabilité

D'après la théorie des équations différentielles, le système linéarisé précédent possède des solutions particulières de la forme q_j = A_j exp st où s et les A_j sont inconnus. Si ces valeurs des q_j sont reportées dans le système linéarisé, celui-ci se présente comme un système de n équations du premier degré par rapport aux n inconnues A_j. Ce système n'admet de solution autre que zéro, pour tous les A_j, que si le déterminant des coefficients est nul :

où α, β, γ représentent les matrices dont les éléments sont respectivement les α_ij, β_ij et γ_ij. Cette équation de degré 2 n par rapport à s est l'équation caractéristique qui admet donc 2 n racines (réelles ou non). La solution générale du système linéarisé est une superposition de toutes les solutions particulières et elle s'écrit :

Une condition nécessaire de stabilité[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

Des contenus variés, complets et fiables
Accessible sur tous les écrans
Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Médias

Solides en contact ponctuel - crédits : Encyclopædia Universalis France — Solides en contact ponctuel

Encyclopædia Universalis France

Liaison rotoïde - crédits : Encyclopædia Universalis France — Liaison rotoïde

Encyclopædia Universalis France

Liaison verrou - crédits : Encyclopædia Universalis France — Liaison verrou

Encyclopædia Universalis France

Afficher les 4 médias de l'article DYNAMIQUE

Autres références

ALEMBERT JEAN LE ROND D' (1717-1783)
- Écrit par Michel PATY
- 2 874 mots
- 2 médias
Son Traité de dynamique de 1743 propose une réduction et une unification de la mécanique des corps solides, en énonçant et démontrant le théorème général de la dynamique, qui est connu depuis lors comme « principe de d'Alembert » et qui fournit la loi de mouvements quelconques de systèmes...
BALISTIQUE
- Écrit par Jean GARNIER
- 2 100 mots
- 2 médias
Pour écrire l'équation de la trajectoire d'un projectile tiré par un canon, il suffit d'appliquer le principe fondamental de la dynamique : la somme des forces extérieures appliquées au projectile est égale au produit de sa masse par la dérivée du vecteur vitesse V_g du centre...
CAUSALITÉ
- Écrit par Raymond BOUDON , Marie GAUTIER et Bertrand SAINT-SERNIN
- 12 987 mots
- 3 médias
Au xvii^e siècle, la statique se trouve absorbée dans une science nouvelle, la dynamique, qui s'intéresse à l'état de mouvement des corps et aux causes qui le produisent. En outre, physique céleste et physique terrestre s'unifient : le mouvement de la Lune autour de la Terre apparaissant identique à...
FLUIDES MÉCANIQUE DES
- Écrit par Jean-François DEVILLERS , Claude FRANÇOIS et Bernard LE FUR
- 8 791 mots
- 4 médias
Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :
τ est un vecteur,...
Afficher les 20 références