ALEXANDRIE ÉCOLE MATHÉMATIQUE D'

La mathématique alexandrine

L'enseignement supérieur des mathématiques comprenait évidemment la lecture commentée des écrits majeurs des grands classiques : Éléments d'Euclide, ouvrages d'Archimède, traités des Coniques d'Euclide d'abord, d'Apollonios ensuite. Nous savons par exemple que Théodose commenta la Méthode mécanique (ou Lettre à Ératosthène) d'Archimède, que Théon d'Alexandrie procura de nouvelles éditions des Éléments et que sa fille Hypatie donna un commentaire des Coniques d'Apollonios.

Mais, à côté de ces grands traités, et à un niveau légèrement inférieur, celui de nos propédeutiques, Pappus nous a conservé tout au moins des analyses d'ouvrages, remarquables, de didactique et d'heuristique mathématiques. Cet ensemble impressionnant constitue le livre VII de sa « collection » : Données et Porismes d'Euclide ; Section d'aire, Section de rapport, Contacts, Inclinaisons, Lieux plans d'Apollonios ; Lieux solides d'Aristée ; Lieux à la surface d'Euclide.

Nous devons à l'école alexandrine, d'abord en géométrie, une technique analytique remarquable que Zeuthen a appelée l'« algèbre géométrique » des Grecs. Elle est, de nos jours, complètement tombée en désuétude, remplacée avantageusement par l'analyse de Viète et de Descartes. Il est cependant indispensable de la connaître pour lire les grands classiques grecs.

Mais c'est encore à cette école que l'on doit un autre aspect de l'analyse représenté par les Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie. Il s'agit de l'analyse indéterminée, dite de nos jours encore « analyse diophantienne ». Ses procédés sont identiques à ceux de notre algèbre élémentaire quant aux fondements. Elle ne s'applique qu'aux nombres rationnels. Bien que les Arithmétiques soient un ouvrage tardif, cette analyse devait être cultivée dès les débuts de l'École, où son rôle éducatif était loin d'être négligeable. C'est la confrontation par Viète et ses émules des deux courants alexandrins – analyse géométrique représentée par Pappus, analyse « numéreuse » de Diophante – qui amena la naissance de la mathématique moderne.

Cependant, les astronomes alexandrins, Hipparque et Ptolémée entre autres, nous ont apporté la première étude sérieuse de fonctions transcendantes, la trigonométrie. Le premier traité de cette nouvelle science figure au livre I de l'Almageste de Ptolémée (chap. 9). Le traité comporte, en plus de considérations théoriques, des tables de cordes d'arcs de cercle, nos tables de sinus. Ce sont des tables remarquables par leur exactitude. On y trouve pour π la valeur approchée 3-8-30 (en écriture sexagésimale), la meilleure approximation possible avec trois places sexagésimales.

Ainsi l'école alexandrine a-t-elle rendu des services éclatants aux mathématiques pendant plus de sept siècles d'activité, dont les plus brillants sont sans conteste les iii^e et ii^e siècles avant notre ère.

Cette période de création fut suivie de longs travaux plus obscurs mais qui ont eu leur efficacité. Ils nous ont conservé les chefs-d'œuvre grecs, et cela seul serait déjà beaucoup. Ils les ont enrichis sur quelques points de remarques ingénieuses, mais ils ont surtout, en algèbre, en trigonométrie plane et sphérique et dans le calcul numérique, apporté une contribution originale autant qu'utile.